[Linear Algebra] [2-8] Subspaces of R^n

1. 부분 공간(Subspace)

- 부분 공간(Subspace)는 다음과 같은 특정한 조건을 만족하는 집합을 의미한다.

- 그 조건은 다음과 같이 3가지이다.

a. 영벡터(zero vector)가 포함되어야 한다.

b. 부분공간(Subspace)에 속하는 벡터 u,v가 있을 때 u+v가 부분공간(Subspace)에 속해야 한다.

c. 부분공간(Subspace)에 속하는 벡터 u가 있을 때 어떤 스칼라 c를 곱한 cu 가 부분공간(Subspace)에 속해야 한다.

 

- 다음 예제는 Subspace가 아닌 집합이다.

 

 

 

2. Column Space

- Column Space란 어떤 행렬의 칼럼들을 Linear combination으로 나타낼 수 있는 모든원소들의 집합을 의미한다. 

- 즉 Column Space 는 Span{어떤 행렬의 칼럼들}을 의미한다. 

- Column Space를 줄여서 우리는 Col(A)로 나타낸다.

즉, 다음과 같은 식을 만족한다.

 

3. Null Space

- Null Space란 homogeneous equation Ax = 0을 만족하는 모든 해집합(Solution set)을 의미한다. 

 

4. Basis for a Subspace

- 어떤 Subspace H의 basis라는 뜻은

- 집합에 있는 원소들이 전부 선형독립(Linearly independent)하고,

- H = Span{basis} 를 만족한다는 것이다.

 

4.1. Pivot Columns of A 는 basis of Col A와 같다.

- 중요한 성질중 하나는 Pivot Columns of A는 Col A의 basis이다. 

- 이를 잘 기억해보자.