[수리통계학] [2.1] Distribution of Two Random Variables

1. Introduction

1.1. Definition [1] : Random Vector

- 예를 들어, 다음과 같은 vector가 있다고 생각해보자.

<영어성적,수학성적,학생 키>

- 각각의 parameter들은 전부 R.V.라고 말할 수 있는데,

- 이렇듯 n개의 R.V.를 vector로 표현한다면 이 vector를 random vector라고 부른다.

 

- Two R.V.의 cdf는 다음과 같이 나타내진다.

 

- 앞서서 우리는 R.V.를 알아보았을 때, pmf와 pdf을 정의했었는데,

- Random Vector에 대해서도 pmf와 pdf을 정의해보자.

- 이때 Random vector에 대해선 Joint pmf와 joint pdf로 joint가 그대로 이름에 붙게 된다.

 

- Joint pmf는 다음과 같다. 

- 여기서 다음 두 조건을 만족해야한다.(기존의 pmf와 비슷)

 

- Joint pdf도 마찬가지로 Sumantion에서 Intergral로 바뀐 조건만 만족하면 된다.

 

- 여기서 joint cdf를 통해 joint pdf을 유도하려면 각 변수에 대해 편미분을 진행해주면 된다.

 

- 대략적인 joint pdf의 그래프는 다음과 같이 3차공간에 그려지게 된다.

2. Marginal Distribution

2.1. Difinition[1] : Marginal Distribution

- Random Vector (X,Y)가 있다고 해보자.

- 여기서 각각의 random variable에 대하여 probability을 정의할 수 있다.

- X와 Y중에 X에만 관심이 있고, Y에만 관심이 없다고 생각해보면,

- 다음과 같이 Probability을 구할 수 있다.

P(X = x)
= P(X = x , Y = y1 or X = x , Y = y2 or X = x, Y = y3,...)

=  P(X = x, Y = y1) + P(X = x, Y = y2) + P(X = x, Y=y3) + ...

 

- random variable X에 대한 probability를 표현하고 있기에, X의 pmf라고 말 할 수 있다.

- 이렇듯, Random Vector에서 한개의 R.V. 에 대한 pmf를 Marginal pmf라고 불린다.

- cdf는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

- 물론, Continuous R.V.에 대해선 다음과 같이 정의된다.

 

- Expectation은 다음과 같이 구할 수 있다.