[수리통계학] [2.2] Transformations : Bivariate Random Variables

1. Introduction

- 해당 섹션에선 Random Vector의 transformation에 대해서 다룰 것이다.

- Y의 cdf를 찾는 방법에 대해 기존의 방식을 이용하여 서술하고자 한다.

 

2. Transformation of Discrete R.V.

- Discrete R.V.에서 (X1, X2)의 joint pmf를 다음과 같이 정의해보자.

 

- (X1,X2)의 Support Set을 S라고 정의할 때,

- y1 = u1(x1,x2) , y2 = u2(x1,x2)라고 정의해보자.

- 여기서 다음과 같이 식을 만족하게 된다.

- 이걸 Inverse Function의 관점에서 바라보면 y1,y2를 x1,x2로 변환하는 것도 가능하다.

 

- 이걸 이용하여 joint pmf를 다음과 같이 주어진다는 것을 유도할 수 있다.

 

3. Transformation of Continuous R.V.

- (X1,X2)의 Joint pdf는 위의 식에서 다음과 같이 살짝 달라진 형태를 보인다.

- J는 Deteminant of Jacobian을 의미한다.