[수리통계학] [2.4] Independent Random Variables

1. Introduction

1.1. Difinition [1] : Independent

- R.V. X1,X2가 Continuous이고, X1와 X2의 joint pdf가 f(x1,x2)라고 해보자.

- 각각의 marginal pdf가 f1(x1), f2(x2)라고 하자.

- Conditional pdf의 정의에 따라, joint pdf는 다음과 같이 표현가능하다.

- 만약 conditional pdf에서 x2가 x1에 의존하지 않는 경우를 생각해보자.

- Marginal pdf of X2는 다음과 같이 주어진다.

- 그렇기 때문에, 다음을 만족한다.

- 이때, X1과 X2는 Independent하다고 말할 수 있다.

(이거와 동일함)

- 여기서 x1,x2가 각각 다른 분포를 뛴다고 해보자 즉, g,h로 보인다고하면, 다음과 같이 표기도 가능하다.

 

 

 

- 이는 cdf일 때도 만족한다.

 

- 증명은 다음과 같이 간단하게 할 수 있다.