[수리통계학] [2.6] Extension to Several Random Variables

1. Introduction

1.1. Definition [1] : Random Vector

- n개의 R.V.로 구성된 column vector를  다음과 같이 정의해보자.

X = (X1,...,Xn)^T : n-dim random vector라고 불림.

 

- 이걸 joint cdf로 나타내면 다음과 같이 표현 가능하다.

 

- 여기서 pdf를 구하고 싶으면 다음과 같이 편미분을 취해주면 된다.

 

- Y = u(x1,...,xn)라고 할때, E(Y)는 다음과 같다.

 

- marginal distribution도 다음과 같이 표현가능하다.

 

- conditional pdf는 다음과 같다.

 

1.2. Definition [2] : iid(independent identically distribution)

- 간단히, 각각의 R.V.가 independent하고, 전부 동일한 distribution에 속한다면,

- 이를 iid라고 불린다.

 

2. Multivariate Variance-Covariance Matrix

2.1. Definition [1] : Variance-Covariance Matrix

- 우리가 앞서서 Random Vector처럼 R.V.를 일차원으로 배열했었다면,

- 더 높은 차원으로 배열시키고자 나오게된 개념이다. 

- 즉, R.V.를 Matrix로 배열하고자 하는 것이다.

- 이때 R.V. Matrix를 W라고 하자. 

- 그러면 Expectation은 다음을 만족한다.

 

- Variance-Covariance Matrix는 다음과 같이 정의된다.

- 이름이 Variance-Covariance Matrix인 이유는 

- 대각 원소가 Variance로 이루어져 있고, 나머지 원소들이 Covariance를 이루고 있기 때문에다

- 이를 바탕으로, 두 가지 정리가 나오게 된다.(증명은 생략하겠습니다. --> 간단하게 증명가능합니다.)