[수리통계학] [3.2] The Poisson Distribution

1. Introduction

- Poisson Distribution은 단위 시간 내에 특정 사건이 발생하는 횟수를 모델링하는 확률 분포이다.

- 애는 사건 발생이 독립적이며, 단위 시간당 평균 발생 횟수가 일정할 때 적절히 적용된다.

- 일반적으로 "Rare Event"의 확률 분포라고도 한다.

- 예시는 다음과 같다.

"""

i) 책에서 오타를 발견할 확률

ii) 은향에서 1시간당 평균적으로 5명의 고객이 방문한다고 가정하자.

--> 이때, 어떤 한 시간 동안 정확히 3명의 고객이 방문할 확률 
"""

 

- pmf를 먼저 알아보기 전에, motivation을 먼저 알고가보자.

- g(m) = e^m 이라고 해보자. 그리고, m = 0 부근에서 테일러전개를 해주자.

- 양변에 e^m을 나눠주면 다음과 같다.

- 여기서, 시그마 안에 있는 수식이 pmf가 된다.

 

- mgf를 한번 구해보자.

- 이걸 통해 평균과 분산을 구하면 다음과 같다.

- Poisson Distribution은 평균과 분산이 유일하게 같은 유명한 분포라고 한다.