[수리통계학] [3.3] The Gamma,Chi-square, and Beta Distributions

1. Gamma Distributions

1.1. Gamma Function

- Gamma Distribution에 대해서 알아보기 전에, Gamma Function에 대해서 알고가보자.

- gamma function은 다음과 같다.(유도가 되는 함수가 아니라, 그냥 정의가 된 함수니 그러려니 하고 넘어가자)

 

- 이 gamma function의 성질은 다음과 같다.

i) alpha가 1보다 클 때, 다음을 만족한다.

- 해당 성질에 의해서 alpha가 자연수일 때 다음 성질을 가진다.

 

1.2. pdf of gamma

- R.V. X가 Gamma distribution에 속하는데, 모수가 alpha와 beta가 있다고 하자.

- X의 pdf는 다음과 같다.

- pdf의 motivation을 함께 알아보자.

- 양변을 gamma(alpha)로 나눠주면 다음과 같다.

- 적분 안에 있는 아이가 자연스레 gamma distribution의 pdf가 된다는 것을 알 수 있다.

 

1.3. mgf

- 이를 통해 평균과 분산을 구하면 다음과 같다.

 

1.4. Relationship with Poisson Distribution

- Gamma Distribution은 Poisson Distribution과 깊은 연관이 있다.

- 우선 R.V. W를 다음과 같이 정의하자.

W : time needed to obtain k changes(failures, deaths)

- G(w) = P(W <= w) = 1 - P(W > w) cdf of W

Note that

{ W > w } == less than k changes in (0,w)

Define

- R.V. X : # of changes in (0,w)

- 우리가 보이고 싶은건 다음과 같다.

- 이를 보이기 위해, 부분적분과 수학적 귀납법을 이용하여 증명한다.

 

 

2. Chi-square Distribution

2.1. Definition [1] : Chi-square Distribution

- Chi-square Distribution은 gamma distribution에서 alpha = r/2 , beta = 2일때를 따른다.

 

2.2. Definition [2] : Degree of Freedom(d.f.)

- X1,X2,X3가 있다고 생각해보자(각각 사람 키를 의미한다.)

- 이때, 아무 제약이없다면, X1,X2,X3는 모두 자유롭게 값을 가진다. (d.f. = 3)

 

- 하지만, 평균이 170이라고 제약이 주어진다면,

- X1,X2는 자유롭게 값을 가지지만, X3는 무조건 (510-X1-X2)의 값을 가진다.(강제)

--> d.f. = 3-1 = 2

 

- d.f = n - # of restrictions

 

2.3. mgf

- mu = d.f. (1번 미분)

- var = 2 * d.f. (2번 미분)

 

3.Beta Distribution

- Beta Distribution은 연속 확률 분포로, [0,1] 내에서 정의되는 R.V.의 Distribution을 나타낸다.

- 주로 Bayesian Statistics에서 Prior Distribution으로 자주 사용된다.

3.1. pdf

- beta distribution의 pdf는 다음과 같이 정의된다.

 

- 여기서 B(alpha,beta)는 다음과 같다.