[Linear Algebra] [2-1] Vectors and Linear Equations

2.1 Vectors and Linear Equations

0. Introduction

2.1의 목표는 행렬 방정식 $Ax = b$ 를 벡터 관점에서 이해하는 것이다. 이때 두 가지 관점이 항상 함께 등장한다.

• 행(row) 관점: 각 행과 $x$ 의 내적(dot product)
• 열(column) 관점: $A$ 의 열벡터들을 $x$ 의 성분을 계수로 한 선형결합(linear combination)

즉, $Ax = b$ 는 “연립 1차 방정식”이기도 하고, 동시에 “열벡터들을 섞어서 $b$ 를 만드는 문제”이기도 하다.

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1. 행렬 방정식 $Ax = b$ 의 의미

먼저, 크기가 $m \times n$ 인 행렬 $A$ 와 $n$차원 벡터 $x$ 를 생각하자.

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} $$

이때 행렬 곱

$$ Ax = b $$

는 다음과 같은 $m$개의 1차 방정식과 같다.

$$ \begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases} $$

즉, $Ax = b$ 는 “미지수 $x_1,\dots,x_n$ 에 대한 $m$개의 연립 1차 방정식”을 한 줄로 표현한 것이다.

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2. 행(row) 관점: 내적(dot product)으로 보는 $Ax$

$A$ 의 각 행을 벡터로 쓰면

$$ \text{row}_1 = (a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1n}), \quad \text{row}_2 = (a_{21}, a_{22}, \dots, a_{2n}), \dots $$

이때 $Ax$ 의 각 성분은 “행 벡터와 $x$ 의 내적”이다.

$$ Ax = \begin{bmatrix} \text{row}_1 \cdot x \\ \text{row}_2 \cdot x \\ \vdots \\ \text{row}_m \cdot x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} $$

따라서 행 관점에서 $Ax = b$ 는 “각 행과 $x$ 의 내적이 각각 $b_1, \dots, b_m$ 이 되도록 하는 $x$ 를 찾는 문제”이다.

예시

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad x = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} $$

각 행과 $x$ 의 내적은

$$ \text{row}_1 \cdot x = (1,2,3) \cdot (0,0,2) = 6, \quad \text{row}_2 \cdot x = (0,1,4) \cdot (0,0,2) = 8 $$

따라서

$$ Ax = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix} $$

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3. 열(column) 관점: 선형결합으로 보는 $Ax$

이번에는 $A$ 의 열을 벡터로 두자.

$$ A = [\, a_1 \ \ a_2 \ \ \cdots \ \ a_n \,] $$

여기서 $a_j$ 는 $A$ 의 $j$번째 열벡터이다. 그러면

$$ Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n $$

즉,

• $Ax$ 는 “$A$ 의 열벡터들을 $x_1, \dots, x_n$ 을 계수로 해서 선형결합한 결과”이고,
• $Ax = b$ 는 “$b$ 를 열벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는가?”라는 질문이다.

이 열 관점이 선형대수 전체에서 가장 중요한 시각이다. 열벡터들이 어떤 공간을 “얼마나 잘 채우는지”가 바로 부분공간, 차원, 계수(rank) 등으로 이어진다.

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4. 단위행렬 $I$ 와 $Ix = x$

단위행렬(identity matrix) $I$ 는 대각선에만 $1$, 나머지는 $0$ 인 행렬이다. 예를 들어

$$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

이때

$$ Ix = x $$

가 항상 성립한다. 즉, $I$ 는 벡터를 “그대로 두는” 변환이고, 숫자 세계에서의 $1$ 과 같은 역할을 한다.

• 행 관점: 각 행이 표준기저 벡터라서, 내적을 하면 $x$ 의 성분이 그대로 나온다.
• 열 관점: 열벡터들이 $e_1, e_2, e_3$ 이고, $x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3 = x$ 가 된다.

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5. 행렬 원소 표기법

행렬 $A$ 의 $(i,j)$ 번째 원소를 보통 $a_{ij}$ 라고 쓴다. 컴퓨터 코드나 책에서는 다음처럼 쓰기도 한다.

$$ a_{ij} = A(i,j) $$

여기서

• $i$ : 행 번호 (row index)
• $j$ : 열 번호 (column index)

이 표기법은 나중에 알고리즘이나 프로그램으로 행렬을 다룰 때 매우 자주 등장한다.

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6. 2.1 요약

1. $Ax = b$ 는 “연립 1차 방정식”을 한 줄로 표현한 것이다.
2. 행(row) 관점에서는 $Ax$ 의 각 성분이 “행벡터 · $x$ 의 내적”으로 계산된다.
3. 열(column) 관점에서는 $Ax$ 가 “열벡터들의 선형결합”으로 해석된다.
4. 단위행렬 $I$ 는 $Ix = x$ 를 만족하는, 벡터를 그대로 두는 특별한 행렬이다.

앞으로 나오는 선형대수의 거의 모든 개념(부분공간, 기저, 차원, 계수, 선형변환 등)은 이 “열벡터의 선형결합으로 보는 $Ax$” 관점 위에서 쌓인다고 생각하면 된다.