0. Introduction이번 섹션에서는 교대급수(alternating series)—즉 항들의 부호가 + 와 – 로 규칙적으로 번갈아 나타나는 급수—가 언제 수렴하는지, 그리고 왜 수렴하는지를 다룬다.Strang은 특히 “절댓값은 줄어들면서 부호는 번갈아 나타나는” 급수가 어떻게 안정적으로 하나의 값에 모여드는지를 직관적으로 설명한다.대표적인 예가 다음과 같은 급수다:$$ 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots $$이 급수는 $\ln 2$ 로 수렴한다.왜 이런 일이 일어나는지, 그리고 어떤 조건들이 필요하고 충분한지 살펴보자.1. Alternating Series Test (교대급수 판정법)Strang의 핵심 정리(10H)는 다음과 같다:정리 (10H). 교대급수 판..
Calculus
0. Introduction이번 섹션에서는 **양의 항으로 이루어진 무한급수(positive series)**가수렴(converge)하는지, 발산(diverge)하는지를 판단하기 위한 핵심 테스트들을 소개한다.미적분학에서 도함수, 적분에 “정의가 필요했던 것처럼”,무한급수도 정확한 합(sum)이 존재하는지를 따지는 엄밀한 정의가 필요하다.특히 양의 항들로 구성된 급수는 부호 변화가 없기 때문에“적분 비교”, “비율 테스트” 같은 기법이 강력하게 작동한다.이 섹션의 핵심 메시지는 다음과 같다:무한급수의 합은 ‘극한’ 개념 위에서 정의된다.개별 항이 0으로 간다는 것만으로는 수렴을 보장할 수 없다.대표적인 반례가 바로 조화급수:$$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots$$이..
0. Introduction이번 섹션에서는 무한급수(infinite series) 중 가장 중요한 형태인기하급수(geometric series)$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$가 언제 수렴하는지, 무엇에 수렴하는지, 그리고 왜 이것이 수학 전체에서 핵심적인 역할을 하는지를 본격적으로 다룬다.Strang 교수는 이 장을 “무한급수의 세계로 들어가는 첫 문”이라고 표현할 정도로 중요하게 다룬다.지수함수, 삼각함수, 로그함수 같은 주요 함수들의 급수 표현도 모두 여기에서 출발한다.1. 기하급수의 기본 공식기하급수는 아래와 같은 놀라운 공식으로 표현된다:$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$$단, 수렴 조건은:$$|x| 이 조건이 없으면 좌변의..
0. Introduction이번 섹션에서는 극좌표(polar coordinates) 를 이용해 면적을 계산하는 방법을 다룹니다.직사각형 좌표 $(x, y)$ 대신 반지름 $r$과 각도 $\theta$를 사용하는 이유는, 대칭적인 곡선이나 원형 경계가 등장하는 문제에서 계산이 훨씬 단순해지기 때문입니다.특히 면적을 구할 때, 극좌표에서 가장 중요한 공식은 다음입니다:$$ \text{Area} = \frac12 \int r^2, d\theta $$이 공식을 이해하고 실제 문제에 적용하는 것이 이 섹션의 핵심입니다.1. 극좌표의 기본 개념극좌표에서는 한 점을 다음과 같이 표현합니다:$r$ : 원점으로부터의 거리$\theta$ : 양의 $x$축으로부터의 각도직교좌표와의 전환 공식은 다음과 같습니다:$$ x = ..
