[Linear Algebra] [2-5] Matrices and Inverses

2.5 Matrices and Inverses

0. Introduction

2.5의 핵심은 매우 간단하지만 선형대수 전체를 관통하는 아이디어이다: 역행렬(inverse matrix)은 “곱했을 때 원래대로 되돌려주는 행렬”이다.
즉, $$ A^{-1}A = I \quad \text{그리고} \quad AA^{-1} = I $$ 가 성립하는 행렬 $A^{-1}$ 을 찾는 것이 역행렬 문제다.

행렬의 역은 “나눗셈”의 대체 개념이 아니라, 선형변환을 되돌리는 변환을 의미한다. 따라서 역행렬의 유무는 선형변환의 성질과 직결된다.

 

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1. 역행렬의 정의

정방행렬(square matrix) $A$ 에 대해 역행렬 $A^{-1}$ 이 존재한다면:

$$ A^{-1}A = I \quad \text{및} \quad AA^{-1} = I $$

여기서 $I$ 는 단위행렬(identity matrix)이다. 행렬의 역이 존재한다면 반드시 유일하다.

중요한 관찰:

• $A^{-1}A = I$ 만 만족해도, 자동으로 $AA^{-1} = I$ 도 만족한다. (둘은 별개로 요구할 필요 없음)

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2. 역행렬을 언제 가질 수 있는가?

역행렬은 모든 행렬이 가지는 것이 아니다. 다음 조건들이 서로 동치이며, 하나라도 참이면 모두 참이다.

• $A$ 는 역행렬을 가진다
• $Ax = b$ 는 모든 $b$ 에 대해 유일해를 갖는다
• 소거법을 수행하면 완전히 피벗이 있는 삼각행렬이 된다
• $A$ 의 열벡터는 선형독립이다
• $A$ 의 행/열공간의 차원 = $n$
• $\det(A) \neq 0$

 

결론 ⟶ 피벗이 부족하면 역행렬은 없다. 이런 경우 행렬을 “특이행렬(singular matrix)”이라고 부른다.

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3. 역행렬 계산 방법

방법 ① 가우스-조르당 소거(Gaussian–Jordan Elimination)

행렬을 다음과 같이 확장해 소거한다:

$$ [A \mid I] \;\; \xrightarrow{\text{row operations}} \;\; [I \mid A^{-1}] $$

즉, $A$ 를 단위행렬로 만들기 위해 수행한 행 연산이 오른쪽의 $I$ 에도 그대로 적용되며, 그 결과가 $A^{-1}$ 이 된다.

 

방법 ② LU 분해 활용

이미 소거를 통해 $A = LU$ 를 알고 있다면,

• $Ly = e_1$ 풀기 → $Ux = y$ 풀기 → $x$ = 첫 번째 열
• $Ly = e_2$ 풀기 → $Ux = y$ 풀기 → $x$ = 두 번째 열
• … 반복

즉, $n$번의 선형시스템 풀이 결과로 $A^{-1}$ 의 $n$개의 열을 얻는다. 대형 행렬일 때 가장 많이 쓰이는 산업/공학 수치해석 방식이다.

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4. 역행렬과 곱셈 규칙

다음 두 규칙은 필수 암기 대상:

$$ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} $$

순서가 바뀐다! (중요)

또한,

$$ (A^{-1})^{-1} = A $$ $$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$

이 두 공식은 이후의 직교행렬(orthogonal matrix)과 SVD에서 특히 중요해진다.

 

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5. 역행렬이 존재하지 않을 때

역행렬이 존재하지 않는다면 $A$ 는 특이(singular)하다. 이 경우 $Ax = b$ 는

• 해가 없거나
• 무수히 많거나

그 어떤 경우에도 “유일해”가 발생하지 않는다. 또한, $A$ 가 특이하면 다음 중 하나 이상이 성립한다:

• 어떤 열(또는 행)이 다른 열(또는 행)의 선형결합
• 피벗이 부족
• 열 공간/행 공간의 차원이 $n$ 미만

 

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6. 2.5 요약

• 역행렬 $A^{-1}$ 은 “원래 상태로 되돌려주는 변환”
• $A^{-1}A = AA^{-1} = I$
• 피벗이 부족하면 역행렬은 없음 (singular matrix)
• 역행렬 계산은 가우스-조르당 또는 LU 분해로 수행
• 중요 공식:
  $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$   (순서 주의!!)
  $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

2.5의 핵심 메시지: 역행렬이 존재한다는 것은, 선형변환이 정보를 잃지 않고 거꾸로 되돌릴 수 있음을 의미한다. 이 개념은 선형시스템 해석부터 최적화, 기계학습, 신호처리, 컴퓨터그래픽스, SVD, PCA까지 모든 분야에 깊숙이 등장한다.