[수리통계학] [4] Random Variables

1. Introduction

1.1. Definition [1] - Random Variable(R.V.)

-Random Variable은 Sample space C에서의 각 원소 c ㅌ C에 오직 하나의 실수 X(c) = x를 대응시키는 함수를 의미한다.

- 약어로  R.V.를 쓴다.

- 이때 Random Variable을 나타내는 함수를 X라고 한다면, range of X는 다음과 같다.

- 이 때 D가 Countable Set이냐 Interval of real Numbers이냐에 따라 X의 명칭이 달라지게 된다.

- 만익 D가 Countable Set이라면 X를 Discrete R.V(이산형 확률변수) 라고 정의하고,

- 만약 D가 Interval of real numbers라면 X를 Continuous R.V.(연속형 확률변수)라고 정의한다.

 

- 참고로, D에서 정의된 Probability set function을 우리는 Induced Probability Function이라고 부른다.

- 여기서 X가 Discrete R.V.라면 Probability Mass Function(PMF)라고 부르고,

- 만일,   X가 Continuous R.V.라면 Probability Density Functuon(PDF)라고 부른다.

- PMF도 PDF라고 명시되어 있는 책들도 많다고 하니, 참고하면 좋을 듯 하다.

- 여기서 명시한 Probability Function 즉, PMF과 PDF는 R.V.의 distribution을 결정해주는 함수라고 생각하면 좋다.

 

1.2. Definition [2] - Cumulative Distribution Function (CDF)

- CDF는 X가 R.V.일때, -inf부터 X= x까지 합한 확률을 의미한다. 즉, 다음과 같이 정의된다.

- 즉, P( X <= x )를 의미하게 된다는 것이다.

 

- 간단한 예시를 함께 봐보자.

- 주사위 한 개를 던져서 나오는 눈의 수를 R.V. X라고 하고 이 X의 CDF를 그려보자.

- 이를 바탕으로 그래프로 그려보면 다음과 같을 것이다.(해당 CDF는 쉽게 구할 수 있으니 생각해보자.)

 

1.3. Theorem [1] - CDF의 성질 4가지

- CDF는 다음과 같이 4가지의 성질을 보인다고 한다.

- 하나씩 증명해보자.

(a)

 

(b)

(c)

 

 

(d) #증명을 내가 잘못했을지도 모르니, 참고로만 보시기 바랍니다.

 

1.4. Theorem [2] : P[a < X <= b] = F(b) - F(a)

1.5. Theorem [3] : P[X = x] = F(X) - F(X-)

 

- Theorem 2,3의 증명은 생략하고자 한다.

- 간단히 집합으로 생각해보면 쉽게 유도되니 한번 해보길 바란다.