[수리통계학] [6] Continuous Random Variables

1. Introduction

1.1. Definition [1] : Continuous Random Variables

- Random Variable을 나타내는 함수를 X라고 한다면, range of X는 다음과 같다.

- 이 때 D가 Countable Set이냐 Interval of real Numbers이냐에 따라 X의 명칭이 달라지게 된다.

- 만약 D가 Interval of real numbers라면 X를 Continuous R.V.(연속형 확률변수)라고 정의한다.

 

- R.V. X의 cdf가 모든 x에 대해 연속함수라면, Continuous Random Variable이라고 한다.

- cdf가 연속이기 때문에, 해당 값은 0에 수렴하게 된다.

- 즉, 한점에서의 질량은 없다라는 것을 뜻하기도 한다.

- P(X = x) = 0, all x ㅌ R

 

- 여기서 cdf는 다음과 같이 정의 된다.

 

- 여기서, 양변을 미분해주면 다음과 같은 공식이 유도된다.

 

- 여기서 구간에 따른 확률을 구하기 위해 다음과 같이 적분으로 구할 수 있다.

 

- 참고로 연속이라는 성질때문에 다음과 같이 끝점이 포함되든 안되든 같은 확률을 나타내게 된다.

 

- 다음과 같이 두가지 성질도 만족하니 참고하자.

2. Quantiles

2.1. Difinition [1] : Quantile

- 0 < p < 1 일 때, Probability Variable X의 p-분위수(Quantile of order p)는 값 ξ_p로 정의된다.

- 다음 조건을 만족한다.

 

- 이는 다른 말로 (100p)번째 백분위수(percentile)라고도 한다.

 

- 이를 통해 IQR이라는 되게 중요한 아이를 알게 되는데,

- Q1 : 25번째 백분위수 

- Q2 : 50번째 백분위수 (중앙값과 동일

- Q3 : 75번째 백분위수 라고 정의하자.

- 그러면, IQR = Q3-Q1이라고 정의하자.

- 우리는 이 IQR을 이용하여 분포의 spread 또는 산포도를 나타내는 척도로 사용 가능하다.