[수리통계학] [3.5] The Multivariate Normal distribution

1. Introduction

1.1. Derivation

(i) Standard normal case

- z's : N(0,1)

- Z = (z1,z2,...,zn)^T (Random Vector, R.V.들은 iid)

- 우리는 z의 pdf를 구해 볼것이다.

- 여기서 f(z)를 우리는, standard multivariate normal distribution이라고 정의한다.

- mgf을 구하면 다음과 같다.

- n-dimension vector로 이루어져 있기 때문에, t't로 곱해주는 꼴이 나오게 된다.

- 하지만, 기존의 정규분포의 mgf와 거의 유사하다라는 점 기억하면 좋다.

 

1.2. Spectral Decomposition Theorem(SDT)

- Spectral Decomposition은 symmetric matrix를

- orthogonal matrix와 Diagonal matrix로 decomposition할 수 있다는 정리이다.

- Gamma를 orthogonal matrix, lambda를 diagonal matrix라고 하자

- 그러면 다음과 같이 decomposition된다.

- orthogonal matrix의 특징은 transpose한것과 역행렬이 같다라는 것이다.

- 이를 계산해주면 다음과 같이, eigen value와 orthogonal vector들로 decomposition된다.

- 밑의 과정을 Spectral Decomposition이라고 한다.

 

- 다시 돌아와서, symmetric matrix을 다음과 같이 decomposition해보자.

- 여기서 우리는 한쪽만 똑 떼서 다음과 같이 정의할 것이다.

 

- 해당 matrix를 이용해서 R.V X를 다음과 같이 define해보자.

- 해당 R.V의 평균과 분산을 구하기 위해 mgf를 구해보자.

- 해당 mgf를 토대로, 평균과 분산을 구하면 다음과 같다.

 

- R.V X의 pdf는 다음과 같다.