[Linear Algebra] [2-9] Dimension and Rank

0. Review

- 우리는 2-8에서 basis에 대한 내용을 알아보았다.

- 이번 챕터에서는 basis에 대한 심화적인 개념에 대해서 알아갈까 한다.

 

1. 좌표 체계(Coordinate System)

- H를 vector space, B = {v1,v2,...,vp}를 H의 basis라고 하자.

그러면 각각 H에 속하는 원소들은 B에 속한 벡터들의 일차결합(Linear combination)으로 unique하게 표현된다. 

 

- 집합 B를 다음과 같이 정의해보자. 

- B를 subspace H의 basis라고 하자.

 

- 만약 H에 속하는 x가 있다면

- 그 x를 B에 대한 원소에 대한 선형결합(linear combination)으로 나타낼 수 있다.

 

- 이를 b1,b2...bp를 좌표평면의 축으로 봐서 좌표로 나타낼 수 있다.

ex)

 

 

- 이를 B-coordinate vector of x(x의 B에 의한 좌표) 라고 한다.

ex)

 

 

2. The Dimension of a Subspace

- 어떤 Subspace H의 차원(Dimension)을 나타낼 때 다음 처럼 dim(H)로 나타낼 수 있다.

- dim(H)는 H의 basis의 벡터의 개수를 의미한다.

- dim({0}) = 0 이라고 약속하자.

 

3. Rank 

- rank(A) = dim(Col(A)) 과 같다.

- nullity(A) = dim(Nul(A)) 와 같다.

 

3.1. The Rank Theorem 

A가 만약 n개의 columns를 가지고 있다면 다음과 같은 정리를 만족한다.

- Rank(A) + Nullity(A)  = n

 

cf) Rank and the Invertible Matrix Theorem

 

- 이번 챕터에서 배운 내용이 Invertible Matrix 정리를 더 심화시켜준다

 

m. 각 A의 칼럼은 R^n의 basis가 된다.

n : Col A = R^n

o. rank A = n

p. Nullity A = 0

q. Nul A = {0}