[Linear Algebra] [2-3] Characterizations of Invertible Matrices

0. Intro

- 2.2 챕터에서 역행렬(Invertible Matrix)에 대한 기본개념에 대해서 알아보았고

- 이번 챕터에선 그 역행렬이 어떤 성질을 가지고 있는지 알아가보도록 하자.

 

1. 역행렬정리(The Invertible Matrix Theorem)

- A를 n x n 정방행렬이라고 가정하자. 

- 그러면 다음 a부터 l까지의 내용이 전부 참이거나 전부 거짓이 된다.

 

a. A는 역행렬을 가진다.(Invertible Matrix)

b. A와 In 은 행 상등(row equivalent)하다.

c. A는 n개의 pivot positions을 갖는다.

d. Ax = 0 은 오직 trivial solution뿐이다. (One-to-One)이다.

e. A의 칼럼들은 전부 선형독립(linearly independent)이다

f. T(x) = Ax 는 one-to-one이다.

g. Ax = b를 만족하는 x의 값은 오직 하나이다.

h. Span{Col A} = R^n

i. T(x) = Ax R^n을 R^n으로 보내는 onto 이다.

j. CA = I 를 만족하는 C를 갖는다.

k. AD = I를 만족하는 D를 갖는다.

l. A^{T}는 invertible하다. 

 

2. 역선형변환(Invertible Linear Transformations)

- 다음 조건을 만족하는 S, T가 있다고 생각해보자.

 

 

-이때,S는 T의inverse라고 한다.

- 즉, S = T^(-1)이다.

 

- 만약 A가 T의 standard matrix 라면 A^(-1)은 S의 Standard matrix가 된다.