[수리통계학] [6.3] Maximum Likelihood Test

1. Likelihood Ratio Test(LRT)

1.1 definition

- 위와 같이 random sample이 주어져 있다고 가정하자.

- 우리가 검정할 것은 다음과 같다.

 

- 그리고, MLE에 해당하는 theta값을 다음과 같이 정의하자.

 

- 그리고 Likelihood ratio를 다음과 같이 정의해보자.(LRT에서의 test statistics가 된다.)

 

- 만약 귀무가설이 참이라면 Likelihood ratio는 1에 가까워 질것이고,

- 만약 대립가설이 참이라면 Likelihood ratio는 0에 가까워 질것이다.

- 이러한 motivation을 토대로, c를 기준으로 값이 작다면 귀무가설을 기각시키는 판단이 가능하다.

 

2. Wilks' Theorem

- Regularity condition R0~R5까지 만족한다고 가정하자.

- 여기서 wilks'Theorem은 다음과 같다.

- 이를 한번 증명해보자.

- 우선, MLE of theta를 다음과 같이 정의하자.

- 그리고 다음 식을 테일러전개로 식전개를 해보자.

- 여기서 다음을 만족하게 된다.

-위의 식을 만족하기 때문에, 다음과 같이 증명이 가능하다.

 

3. Wald and Score test