[Calculus] [1-6] Chain Rule

0. Introduction

지금까지는

• 단순한 멱함수: $$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$$
• 곱/몫/역수: Product, Quotient, Reciprocal Rule

까지 봤다.

하지만 실제로 우리가 많이 보는 함수들은 이렇게 생긴 것들이다:

• $$y = \sqrt{1 + x^2}$$
• $$y = \sin(x^2)$$
• $$y = e^{3x^2 + 2x}$$
• $$y = \ln(1 + x^2)$$

즉, **“안에 뭔가 또 들어있는 함수(합성함수)”**가 대부분이다.

이럴 때 쓰는 도구가 바로 Chain Rule (연쇄법칙, 합성함수 미분법칙) 이다.

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1. Chain Rule의 형태

함수를 두 단계로 나누어 보자.

• $$u = g(x)$$
• $$y = f(u)$$

그래서 전체 함수는 $$y = f(g(x))$$ 꼴이다. (바깥 함수 $f$, 안쪽 함수 $g$)

1.1 미분 기호 버전

이때 Chain Rule은 다음을 말한다:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$$

즉,

전체 변화율(밖에서 본 변화율)
= (바깥함수가 $u$에 대해 변하는 정도) × (안쪽함수가 $x$에 대해 변하는 정도)

로 쪼개진다는 뜻이다.

1.2 함수 표기 버전

동일한 내용을 함수 표기로 쓰면

$$h(x) = f(g(x)) \quad \Rightarrow \quad h'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).$$

• 먼저 안쪽 $g(x)$를 $x$에 대해 미분 → $g'(x)$
• 그 다음 $f$를 $u$에 대해 미분한 뒤, 거기에 $u = g(x)$를 대입 → $f'(g(x))$
• 마지막에 둘을 곱하면 된다: $$f'(g(x))\cdot g'(x)$$

이걸 흔히 이렇게 외운다:

“겉미분 × 속미분”

• 겉미분: $f'(g(x))$
• 속미분: $g'(x)$

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2. 직관: 작은 변화의 연쇄

Chain Rule은 **“작은 변화가 단계별로 전달된다”**는 직관에서 나온다.

• $x$가 조금 변하면 → $u = g(x)$가 변하고
• $u$가 조금 변하면 → $y = f(u)$가 변한다.

이걸 기호로 쓰면:

1. $x$에서 $x + \Delta x$로 갈 때
   • $$\Delta u = g(x + \Delta x) - g(x)$$
   • $$\Delta y = f(u + \Delta u) - f(u), \quad u = g(x)$$
2. $x$가 아주 조금 변할 때 ($\Delta x$가 매우 작을 때)
   • $u$의 변화는 대략 $$\Delta u \approx g'(x)\Delta x$$
   • $y$의 변화는 대략 $$\Delta y \approx f'(u)\Delta u$$
3. 둘을 합치면
   $$\Delta y \approx f'(u)\Delta u \approx f'(u),g'(x)\Delta x$$

변화율을 보려면 $\Delta x$로 나눠서 극한을 취한다:

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(u)g'(x) \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = f'(u)g'(x).$$

여기서 $u = g(x)$를 대입하면

$$\frac{dy}{dx} = f'(g(x))g'(x).$$

이게 바로 Chain Rule이다.

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3. 엄밀한 증명 (정의에서 시작)

엄밀하게는 다음과 같이 증명할 수 있다.

합성함수 $$h(x) = f(g(x))$$ 를 생각하자.

미분 정의:

$$h'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{h(x+h) - h(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h}.$$

여기서

• $$\Delta u = g(x+h) - g(x)$$
• 즉 $$g(x+h) = g(x) + \Delta u$$

라고 두고, 분자를 $f$의 변화에 집중해서 보면:

$$\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{h}, \quad u = g(x).$$

그래서

$$h'(x) = \lim_{h\to 0} \left[ \frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{h} \right].$$

이제 핵심은 두 개의 극한으로 분리되는 것:

1. 첫째 극한(여기서 $\Delta u \to 0$ 이 되는 것은, $h \to 0$ 이고 $g$가 연속/미분가능하다는 가정 덕분)
2. $$\lim_{\Delta u\to 0}\frac{f(u + \Delta u) - f(u)}{\Delta u} = f'(u)$$
3. 둘째 극한
4. $$\lim_{h\to 0}\frac{\Delta u}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x)$$

따라서

$$h'(x) = f'(u)\cdot g'(x), \quad u = g(x).$$

즉,

$$(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x).$$

증명 끝.

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4. 기본 예제들

4.1 예제 1: (y = \sqrt{1 + x^2})

함수를 두 단계로 쪼갠다:

• 안쪽: $$u = 1 + x^2$$
• 바깥: $$y = f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$$

각각 미분:

• $$\frac{du}{dx} = 2x$$
• $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$$

Chain Rule:
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{u}}$$

$u = 1 + x^2$ 대입:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.$$

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4.2 예제 2: (y = \sin(x^2))

• 안쪽: $$u = x^2$$
• 바깥: $$y = \sin u$$

미분:

• $$\frac{du}{dx} = 2x$$
• $$\frac{dy}{du} = \cos u$$

따라서

$$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 2x = 2x\cos(x^2).$$

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4.3 예제 3: (y = e^{3x^2 + 2x})

• 안쪽: $$u = 3x^2 + 2x$$
• 바깥: $$y = e^u$$

미분:

• $$\frac{du}{dx} = 6x + 2$$
• $$\frac{dy}{du} = e^u$$

Chain Rule:

$$\frac{dy}{dx} = e^u\cdot (6x + 2) = (6x + 2)e^{3x^2 + 2x}.$$

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4.4 예제 4: (y = \ln(1 + x^2))

• 안쪽: $$u = 1 + x^2$$
• 바깥: $$y = \ln u$$

미분:

• $$\frac{du}{dx} = 2x$$
• $$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$$

따라서

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u}\cdot 2x = \frac{2x}{1 + x^2}.$$

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5. Chain Rule로 다시 보는 Power Rule 예제

5.1 (y = (x^2 + 1)^8)

사실 이건 2.5에서 본 “일반 멱함수 미분”과 같은 형태다:

• 안쪽: $$u = x^2 + 1$$
• 바깥: $$y = u^8$$

미분:

• $$\frac{du}{dx} = 2x$$
• $$\frac{dy}{du} = 8u^7$$

Chain Rule:

$$\frac{dy}{dx} = 8u^7 \cdot 2x = 16x u^7 = 16x(x^2 + 1)^7.$$

→ 우리가 아까 썼던 일반 멱함수 공식
$$\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n[u(x)]^{n-1}u'(x)$$
도 사실 Chain Rule의 특수한 경우다.

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5.2 (y = \sin^2 x) (두 가지 방법 비교)

1. Product Rule 사용:
   $$y = (\sin x)(\sin x)$$
2. $$(\sin^2 x)' = \sin x\cos x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$$
3. Chain Rule 사용:
   • 안쪽: $$u = \sin x$$
   • 바깥: $$y = u^2$$
   미분:
   $$\frac{dy}{du} = 2u,\quad \frac{du}{dx} = \cos x$$
4. 따라서
   $$\frac{dy}{dx} = 2u\cos x = 2\sin x\cos x$$

 두 방법 결과 동일.
Chain Rule을 쓰면 “제곱” 형태가 더 깔끔해진다는 걸 볼 수 있다.

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5.3 Quotient Rule 대신 Chain Rule (예: (y = \dfrac{1}{x^2 + 1}))

• $$y = (x^2 + 1)^{-1}$$
• 안쪽: $$u = x^2 + 1$$
• 바깥: $$y = u^{-1}$$

미분:

• $$\frac{du}{dx} = 2x$$
• $$\frac{dy}{du} = -u^{-2}$$

따라서

$$\frac{dy}{dx} = -u^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}.$$

Quotient Rule로 해도 되지만, Chain Rule로 더 간단하게 처리할 수 있다.

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6. 여러 번 합성된 함수도 되는가?

물론이다. 예를 들어

$$y = \sin^2(3x^2 + 1)$$

라면, 단계는 이렇게 나눌 수 있다:

1. $$v = 3x^2 + 1$$
2. $$u = \sin v$$
3. $$y = u^2$$

각 단계마다 미분해보면:

• $$\frac{dv}{dx} = 6x$$
• $$\frac{du}{dv} = \cos v$$
• $$\frac{dy}{du} = 2u$$

연쇄적으로 곱하면

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx} = 2u\cdot \cos v \cdot 6x.$$

$u = \sin v$, $v = 3x^2 + 1$ 대입:

$$\frac{dy}{dx} = 12x\sin(3x^2 + 1)\cos(3x^2 + 1).$$

필요하면 여러 번 Chain Rule을 연쇄적으로 쓰면 된다.