[Calculus] [1-7] Limits

 

0. Introduction

지금까지 우리는 미분을 정의할 때 이미 “극한”을 여러 번 써왔다.

• 평균 변화율
  $$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
• 순간 변화율(미분계수)
  $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

이 식들에서 **핵심은 “$h$가 0으로 다가갈 때 값이 어디로 가느냐”**이다.
이번 섹션의 목표는:

1. 수열의 극한( $a_n$ 이 어떤 값 $L$로 수렴한다는 뜻 )
2. 함수의 극한( $x \to a$ 일 때 $f(x)$가 $L$에 다가간다는 뜻 )
3. 이걸 $\varepsilon$–$N$, $\varepsilon$–$\delta$ 로 엄밀히 표현

까지 정리하는 것이다.

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1. 수열의 극한 (Limit of a Sequence)

1.1 직관적인 그림

수열 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 가 있을 때,

• $n$이 커질수록 $a_n$이 어떤 고정된 값 $L$에 점점 가까워진다면
• 우리는 “$a_n$이 $L$로 수렴한다” 또는
  $$\lim_{n\to\infty} a_n = L$$
  이라고 쓴다.

대표적인 예:

• $$a_n = \frac{1}{n} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$$
• $$a_n = \frac{n-1}{n} \Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{n-1}{n} = 1$$

반면에

• $$a_n = (-1)^n = -1, 1, -1, 1, \dots$$

처럼 왔다 갔다 하기만 하고 어떤 한 점으로 “붙잡히지” 않으면,
극한이 존재하지 않는다.

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1.2 $\varepsilon$–$N$ 정의

“가까워진다”를 숫자로 쓰기 위해 $\varepsilon$–$N$ 정의를 쓴다.

정의 (수열의 극한)
수열 $(a_n)$이 $L$로 수렴한다고 함은,
$$\lim_{n\to\infty} a_n = L$$
이고, 이는
“아무리 작은 $\varepsilon > 0$ 를 주어도,
어느 시점 $N$ 이후로는 모든 항이 $L$에서 $\varepsilon$ 이내에 있다”
라는 뜻이다. 즉,
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N}\ \text{s.t.}\ n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon.$$

여기서:

• $\varepsilon$ : 허용 오차 (얼마나 가까이?)
• $N$ : 그 이후로는 항상 그 정도 안으로 들어가는 “시작 인덱스”

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1.3 예제: (a_n = \dfrac{1}{n}) 이 0으로 수렴함을 증명

보여야 할 것:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.$$

정의에 따라,
임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해

$$\exists N,\ n\ge N \Rightarrow \left|\frac{1}{n} - 0\right| < \varepsilon$$

를 증명해야 한다.

계산:

$$\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n}.$$

이것이 $\varepsilon$보다 작게 되려면

$$\frac{1}{n} < \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad n > \frac{1}{\varepsilon}.$$

그래서, 예를 들어

$$N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} \right\rceil$$

로 잡으면, $n \ge N$ 이면 항상 $n \ge 1/\varepsilon$ 이고,

$$\frac{1}{n} \le \frac{1}{N} \le \varepsilon.$$

따라서 정의가 만족되고,
$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$$
이 엄밀히 증명된다.

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1.4 성질 (선형성 등)

수열의 극한이 존재하면, 직관대로 다음이 성립한다:

• $$a_n \to a,\ b_n \to b \Rightarrow a_n + b_n \to a+b$$
• $$a_n \to a,\ b_n \to b \Rightarrow a_n b_n \to ab$$
• $$a_n \to a,\ c \in \mathbb{R} \Rightarrow c a_n \to ca$$
• $$a_n \to a,\ a \ne 0 \Rightarrow \frac{1}{a_n} \to \frac{1}{a}$$
  (단, 분모가 0에 가까워지지 않게 eventually $a_n \ne 0$ 이어야 함)

이런 성질 덕분에 복잡한 수열도
“단순한 수열들의 조합”으로 극한을 쉽게 계산할 수 있다.

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2. 함수의 극한 (Limit of a Function)

이제 수열에서 함수로 넘어가 보자.

$f(x)$ 가 어떤 점 $x = a$ 근처에서 정의되어 있을 때:

$x$가 $a$에 가까워짐에 따라 $f(x)$가 $L$에 가까워진다면,
$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$
라고 쓴다.

여기서 중요한 점:

• $x = a$ 일 때의 값 $f(a)$와는 별개다.
• 심지어 $f(a)$가 정의되지 않아도 $\lim_{x\to a} f(x)$는 존재할 수 있다 (예: 구멍 난 그래프).

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2.1 직관적인 예: ((x^2 - 4)/(x-2)) 의 극한

함수

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

를 보자. $x \ne 2$일 땐

$$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2.$$

그래서 $x=2$를 제외한 모든 곳에서 $f(x) = x+2$ 와 같다.

• $x=1.9$ → $f(1.9) \approx 3.9$
• $x=1.99$ → $f(1.99) \approx 3.99$
• $x=2.01$ → $f(2.01) \approx 4.01$

즉, $x$가 2로 가까워질수록 $f(x)$는 4에 가까워진다.

그래서

$$\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4.$$

하지만 $x=2$에서 분모가 0이므로 $f(2)$는 정의되지 않는다.
이 예제는 곧 “극한”과 “함수값”이 서로 다른 개념임을 보여주는 좋은 예다.

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3. 함수 극한의 $\varepsilon$–$\delta$ 정의

수열의 정의와 비슷하게, 함수의 극한도 $\varepsilon$–$\delta$로 엄밀히 정의한다.

정의 (함수의 극한)
$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$
이란,
임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해
$$|f(x) - L| < \varepsilon$$
를 만족시키는 충분히 작은 $\delta > 0$가 존재하여,
$$0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon$$
이 성립하는 것을 말한다.

여기서

• $\varepsilon$ : 함수값 $f(x)$가 $L$에서 얼마나 가까워야 하는지를 나타내는 허용 오차
• $\delta$ : $x$가 $a$에서 얼마나 가까워야 하는지를 나타내는 범위
• 조건 $0 < |x-a|$ : $x=a$에서의 값은 중요하지 않고, 주변에서의 거동만 본다는 뜻.

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3.1 예제: (\lim_{x\to 2} (x+2) = 4) 를 $\varepsilon$–$\delta$로 증명

사실

$$\lim_{x\to 2} (x+2) = 4$$

라는 건 거의 자명해 보이지만, 정의에 맞춰 한 번 증명해 보자.

해야 할 일: 임의의 $\varepsilon > 0$을 주면,
$$0 < |x-2| < \delta \Rightarrow |(x+2) - 4| < \varepsilon$$
이 성립하는 $\delta$를 찾기.

계산:

$$|(x+2) - 4| = |x-2|.$$

따라서

$$|x-2| < \varepsilon$$

이 되도록 $\delta$를 잡으면 된다.
그냥

$$\delta = \varepsilon$$

라고 두면,

$$0 < |x-2| < \delta \Rightarrow |x-2| < \varepsilon \Rightarrow |(x+2)-4| < \varepsilon.$$

따라서 정의에 의해

$$\lim_{x\to 2} (x+2) = 4$$

가 증명된다.

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3.2 조금 더 복잡한 예: (\lim_{x\to 0} x^2 = 0)

해야 할 일:

• 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해
  $$0 < |x| < \delta \Rightarrow |x^2 - 0| < \varepsilon$$
  를 만족시키는 $\delta$를 찾기.

여기서

$$|x^2 - 0| = x^2.$$

$x^2 < \varepsilon$ 이 되려면

$$|x| < \sqrt{\varepsilon}$$

이면 충분하다. 그래서 예를 들어

$$\delta = \sqrt{\varepsilon}$$

라고 두면,

$$0 < |x| < \delta \Rightarrow |x| < \sqrt{\varepsilon} \Rightarrow x^2 < \varepsilon.$$

따라서

$$\lim_{x\to 0} x^2 = 0$$

이 정의에 의해 증명된다.

(보통 교과서에서는 여기서 “$\delta$–$\varepsilon$ 조합 찾기 연습”을 여러 번 시킨다.)

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4. 함수 극한과 수열 극한의 관계

중요한 사실 하나:

$$\lim_{x\to a} f(x) = L$$
이면, $x$가 $a$로 가는 모든 수열 $(x_n)$에 대해
$x_n \ne a$, $x_n \to a$ 이면
$$f(x_n) \to L.$$

즉, 함수의 극한이 $L$이면
“어떤 방식으로 $a$에 다가가도” 함수값은 항상 $L$을 향해 수렴해야 한다.

반대로, $x_n \to a$이면서 $f(x_n)$이 서로 다른 극한을 갖는 두 수열을 찾을 수 있다면,
$\lim_{x\to a} f(x)$ 는 존재하지 않는다.

예:

$$f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right),\quad x\ne 0.$$

$x\to 0$일 때, $1/x$는 $+\infty$와 $-\infty$ 사이를 왔다갔다 해서
$\sin(1/x)$ 값이 -1과 1 사이를 계속 진동한다.

• 어떤 수열 $x_n \to 0$에서는 $f(x_n) \to 1$
• 다른 수열 $x_n \to 0$에서는 $f(x_n) \to -1$

이런 일이 일어나므로,
$$\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$$
은 존재하지 않는다.

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5. 극한의 성질 (함수 버전)

수열과 마찬가지로, 함수 극한도 “좋게” 행동한다.

$f(x)$, $g(x)$ 가 $x\to a$에서 각각 $L$, $M$으로 수렴하면:

1. 합
   $$\lim_{x\to a} [f(x) + g(x)] = L + M$$
2. 상수배
   $$\lim_{x\to a} [c f(x)] = cL$$
3. 곱
   $$\lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = LM$$
4. 몫 (분모가 0으로 가지 않는다면)
   $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M},\quad M\ne 0.$$

또한, 다항식과 유리함수의 경우

• 다항식 $p(x)$에 대해 $$\lim_{x\to a} p(x) = p(a).$$
• 유리함수 $\dfrac{p(x)}{q(x)}$에서 $q(a)\ne 0$이면
  $$\lim_{x\to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p(a)}{q(a)}.$$

이 덕분에, 대부분의 “정상적인” 함수들은
그냥 $x=a$를 대입해도 곧바로 극한을 알 수 있고,
문제가 되는 경우는 대개 “0으로 나누기”, “정의되지 않은 점”, “진동” 같은 특수 상황뿐이다.

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