[Calculus] [1-4] The Derivative of the Sine and Cosine

 

0. 이번 섹션의 최종 목표

1. 정의에서 출발해
   $$\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$
   를 직접 증명한다.
2. 그 과정에서
   • $$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$$
   • $$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac12$$
     를 기하 + 대수로 증명한다.

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1. 준비: 기본 삼각함수 공식

증명에 필요한 기본 공식들만 먼저 정리하자.

1. 덧셈 공식$$\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$$
2. $$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$$
3. 두 배각 공식를 변형하면특히, $$2\theta = h$$ 로 두면이걸 나중에 $$\dfrac{1 - \cos h}{h^2}$$ 를 구할 때 사용할 것이다.
4. $$1 - \cos h = 2 \sin^2 \frac{h}{2}$$
5. $$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$
6. $$\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta$$

이 공식들은 보통 삼각함수 정의할 때 이미 증명된 상태라고 보고 쓴다.

2. 핵심 극한 ① (\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1) 증명

2-1. 기하적인 setup (단위원)

반지름이 1인 단위원에서, 원점(0,0)에서 시작하는 반지름을 기준으로 각도 $$h > 0$$ 만큼 회전했다고 하자 (라디안).

• 원 위의 점: $(\cos h, \sin h)$
• 원호(arc)의 길이: 반지름 1이므로 호의 길이 = 각도 = h
• 세 가지 “길이”를 비교한다:
  1. 세로 높이: $\sin h$
  2. 호 길이: $h$
  3. 접선 방향 삼각형의 밑변 길이: $\tan h$

그림 없이 말로 하자면,

• 같은 각도 $h$에 대해
  • 세로 높이(수선)인 $\sin h$ 는
    호보다 짧다.
  • 호 길이 $h$ 는
    접선 방향으로 뻗은 선분의 길이보다 짧다 (그게 $\tan h$).

그래서 다음 부등식이 성립한다:

$$\sin h ;\le; h ;\le; \tan h\quad (0 < h < \frac{\pi}{2}).$$

 

2-2. 부등식을 분수 형태로 만들기

위 부등식을 전부 $h$ 로 나누면

$$\frac{\sin h}{h} ;\le; 1 ;\le; \frac{\tan h}{h}.$$

여기서 $\tan h = \dfrac{\sin h}{\cos h}$ 이므로,

$$\frac{\tan h}{h}\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos h}.$$

따라서

$$1 \le \frac{\tan h}{h}\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{1}{\cos h}.$$

이 식을 정리하면,

$$\cos h \le \frac{\sin h}{h}.$$

정리하면, 우리가 가진 부등식은

$$\cos h ;\le; \frac{\sin h}{h} ;\le; 1\quad (0 < h < \frac{\pi}{2}).$$

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2-3. 극한을 취해서 값 구하기

이제 $h \to 0^+$ 로 보낼 때,

• $\cos h \to 1$ (연속성/삼각함수 정의에서 이미 알고 있다고 보자)
• 오른쪽 끝 값은 항상 1

따라서

$$\cos h \le \frac{\sin h}{h} \le 1$$

에서 양 끝이 모두 1로 가므로,
끼워넣기 정리(샌드위치 정리)에 의해

$$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sin h}{h} = 1$$

이다.

음수 쪽에서도 $h \to 0^-$을 보면,
함수 $\dfrac{\sin h}{h}$ 는 짝수 함수(대칭)임을 볼 수 있기 때문에
전체적으로

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$$

을 얻는다.

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3. 핵심 극한 ② (\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h^2} = \frac12) 증명

3-1. 삼각함수 항등식 사용

앞에서 정리한 항등식

$$
1 - \cos h = 2 \sin^2 \frac{h}{2}
$$

을 이용한다.

그럼

$$\frac{1 - \cos h}{h^2}=\frac{2\sin^2 \frac{h}{2}}{h^2}.$$

이제 $\frac{h}{2}$ 를 새로운 변수로 바꾸면 편하다.
$u = \frac{h}{2}$ 라고 두면, $h = 2u$, $h^2 = 4u^2$ 이다.

따라서

$$\frac{1 - \cos h}{h^2}=\frac{2\sin^2 u}{(2u)^2}=\frac{2\sin^2 u}{4u^2}=\frac12 \cdot \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2.$$

이제 $h \to 0$ 일 때 $u = \dfrac{h}{2} \to 0$ 이므로,

$$\lim_{h\to 0}\frac{1 - \cos h}{h^2}\frac12 \cdot \lim_{u\to 0} \left(\frac{\sin u}{u}\right)^2.$$

앞에서 이미

$$\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u} = 1$$

을 증명했기 때문에, 그 제곱의 극한은 역시 1이다.

따라서

$$\lim_{h\to 0}\frac{1 - \cos h}{h^2}\frac12 \cdot 1^2\frac12.$$

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3-2. 덤: (\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{1 - \cos h}{h} = 0)

위에서 구한 결과로부터

$$\frac{1 - \cos h}{h}h \cdot \frac{1 - \cos h}{h^2}$$

이므로,

• $$h \to 0$$
• $$\dfrac{1 - \cos h}{h^2} \to \dfrac12$$

→ 곱은 0으로 감.

$$\lim_{h\to 0}\frac{1 - \cos h}{h}\lim_{h\to 0}\left(h \cdot \frac{1 - \cos h}{h^2}\right)0 \cdot \frac12$$

이 값은 바로 뒤에서 $$\sin x, \cos x$$ 를 미분할 때 필요하다.

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4. $\sin x$ 의 도함수 엄밀 증명

미분의 정의:

$$\frac{d}{dx}\sin x\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}.$$

덧셈공식

$$\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$$

을 대입하면,

$$\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}.$$

이를 두 부분으로 나누어 정리한다.

$$\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h};+;\cos x \cdot \frac{\sin h}{h}.$$

따라서

$$\frac{d}{dx}\sin x\lim_{h\to 0}\left[\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h}+\cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right].$$

이제 각 극한을 분리해서 보면,

• $$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$$ (이미 증명)
• $$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$$ (위에서 본 것처럼)

그러므로

$$\frac{d}{dx}\sin x\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1\cos x.$$

결론:

$$(\sin x)' = \cos x.$$

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5. $\cos x$ 의 도함수 엄밀 증명

같은 방식으로 $$\cos x$$ 를 미분하자.

정의:

$$\frac{d}{dx}\cos x\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}.$$

덧셈공식

$$
\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h
$$

을 대입하여,

$$\frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}\frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h}.$$

정리하면,

$$\cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h}\sin x \cdot \frac{\sin h}{h}.$$

따라서

$$\frac{d}{dx}\cos x\lim_{h\to 0}\left[\cos x \cdot \frac{\cos h - 1}{h}\sin x \cdot \frac{\sin h}{h}\right].$$

이제 극한을 적용하면,

• $$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$$
• $$\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$$

이므로,

$$\frac{d}{dx}\cos x\cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1-\sin x.$$

결론:

$$(\cos x)' = -\sin x.$$

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6. 도함수의 순환 구조 (4번 미분하면 제자리)

위에서 얻은 두 공식을 계속 적용하면:

• $$y = \sin x$$ 일 때$$y'' = -\sin x$$
• $$y^{(4)} = \sin x$$
• $$y''' = -\cos x$$
• $$y' = \cos x$$
• .$y = \cos x$ 에 대해서도 비슷하게 4단계마다 다시 돌아온다.

이렇게 4번 미분하면 원래 함수로 돌아오는 성질 때문에,
sin/cos 는 “회전”, “진동”과 깊게 연결된다.

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7. 미분방정식 $y'' = -y$ 의 해가 왜 $\sin x, \cos x$ 인가

이제 $y'' = -y$$를 해보자.

1. $y = \sin x$ 를 대입해보면따라서 $y'' = -y$ 를 만족한다.
2. $$y = \sin x,\quad y' = \cos x,\quad y'' = -\sin x.$$
3. $y = \cos x$ 를 대입해보면역시 $y'' = -y$ 를 만족한다.
4. $$y = \cos x,\quad  y' = -\sin x,\quad y'' = -\cos x.$$
5. 선형성(linearity) 때문에,
   $y_1, y_2$ 가 $y'' = -y$ 의 해이면
   $A y_1 + B y_2$ (상수 $A, B$)도 해가 된다.
   (좌변에 두 번 미분해서 넣어 보면 된다.)

따라서

$$y(x) = A\sin x + B\cos x$$

는 항상

$$y'' = -y$$

를 만족한다. 이걸 미분방정식의 일반해라고 부른다.

이 식은 물리에서

• 스프링-질량 시스템,
• 소각 진자,
• LC 회로 진동

등에서 “변위 = sin/cos” 꼴로 나타나는 이유를 설명해 준다.
“원점에서 멀어지면 원점 쪽으로 끌려오는 힘”이 있을 때, 그 해가 대표적으로 $\sin, \cos$ 가 된다는 것.

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