[Calculus] [1-5] Product, Quotient, Power Rule(곱,몫,멱함수 미분)

 

 

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0. Introduction

이전까지는

• 상수배, 합/차에 대한 선형성(linearity)
  $$\frac{d}{dx}[a u(x) + b v(x)] = a \frac{du}{dx} + b \frac{dv}{dx}$$
• $x^n$ 꼴에 대한 기본 멱함수 미분법칙
  $$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$

정도를 다뤘다.

이번 2.5 섹션에서는 이걸 완전히 일반화해서

1. 곱셈: Product Rule
   $$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)v'(x) + v(x)u'(x)$$
2. 몫: Quotient Rule
   $$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$
3. 일반 멱함수: Power Rule
   $$\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$$

까지 한 번에 정리하고, 간단한 증명과 예제를 같이 본다.

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1. Product Rule (곱의 미분법칙)

1.1 직관: “길이 변화 → 넓이 변화”

두 함수 $u(x), v(x)$ 를 각각 가로/세로 길이라고 생각해 보자.
사각형의 넓이는
$$A(x) = u(x)v(x)$$
이다.

$x$가 $x + \Delta x$로 변할 때

• 가로: $u(x) \to u(x) + \Delta u$
• 세로: $v(x) \to v(x) + \Delta v$

(여기서 $\Delta u = u(x+\Delta x)-u(x)$, $\Delta v = v(x+\Delta x)-v(x)$)

새 넓이는 $[u(x)+\Delta u][v(x)+\Delta v]$ 이고, 변화량은
$$\Delta A = [u+\Delta u][v+\Delta v] - uv$$

전개하면
$$\Delta A = u\Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v$$

$\Delta x \to 0$ 이 되면 $\Delta u, \Delta v$ 둘 다 매우 작고,
$\Delta u \Delta v$ 는 “더 작게(2차)” 되므로 1차 근사에서 무시 가능:

$$\Delta A \approx u\Delta v + v\Delta u$$

양변을 $\Delta x$로 나누고 극한을 취하면
$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u(x)\frac{dv}{dx} + v(x)\frac{du}{dx}$$

이게 Product Rule이다.

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1.2 엄밀한 증명 (정의에서 출발)

미분 정의에서 시작:
$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = \lim_{h\to 0}\frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h}$$

분자를 더하고 빼기로 쪼갠다:
$$u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) = u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h) - u(x)v(x)$$

묶으면
$$= v(x+h)[u(x+h) - u(x)] + u(x)[v(x+h) - v(x)]$$

따라서
$$\frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} = v(x+h)\frac{u(x+h)-u(x)}{h} + u(x)\frac{v(x+h)-v(x)}{h}$$

$h \to 0$에서

• $v(x+h) \to v(x)$
• $\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} \to u'(x)$
• $\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h} \to v'(x)$

이므로
$$\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = v(x)u'(x) + u(x)v'(x)$$

보통
$$(uv)' = u'v + uv'$$
처럼 쓴다.

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1.3 예제

1. $y = x^3 \cdot x^2$Product Rule로도 확인: $u=x^3, v=x^2$
   $$(uv)' = u'v + uv' = 3x^2\cdot x^2 + x^3\cdot 2x = 3x^4 + 2x^4 = 5x^4$$
2. $$y = x^5 \Rightarrow y' = 5x^4$$
3. $y = x\sin x$
4. $$(x\sin x)' = 1\cdot \sin x + x\cdot \cos x = \sin x + x\cos x$$
5. $y = \sin^2 x = (\sin x)(\sin x)$여기서 일반 공식 하나:
   $$\frac{d}{dx}[u(x)]^2 = 2u(x)u'(x)$$
6. $$(\sin^2 x)' = \sin x(\sin x)' + \sin x(\sin x)' = \sin x\cos x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$$

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2. Reciprocal Rule (역수의 미분)

2.1 공식

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{v(x)}\right] = -\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}$$

2.2 증명: $v \cdot (1/v) = 1$

항등식
$$v(x)\cdot \frac{1}{v(x)} = 1$$

양변을 미분하면, 오른쪽은 0. 왼쪽은 Product Rule:
$$\frac{d}{dx}\left[v\cdot \frac{1}{v}\right] = v'(x)\cdot \frac{1}{v(x)} + v(x)\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{v(x)}\right) = 0$$

정리하면
$$v(x)\cdot \left(\frac{1}{v(x)}\right)' = -v'(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$$

따라서
$$\left(\frac{1}{v(x)}\right)' = -\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}$$

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2.3 예: $x^{-n}$

$v(x) = x^n$ 이면 $1/v(x) = x^{-n}$. Reciprocal Rule:
$$\frac{d}{dx}[x^{-n}] = -\frac{n x^{n-1}}{(x^n)^2} = -\frac{n x^{n-1}}{x^{2n}} = -n x^{-n-1}$$

즉 양의 정수뿐 아니라 음의 정수 지수에서도
$$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$
가 그대로 성립한다.

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3. Quotient Rule (몫의 미분법칙)

3.1 공식

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{v(x)u'(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$$

줄여서
$$(u/v)' = \frac{vu' - uv'}{v^2}$$

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3.2 증명: $u \cdot (1/v)$ 로 보기

몫은
$$\frac{u(x)}{v(x)} = u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$$

Product Rule과 Reciprocal Rule 사용:

$$\frac{d}{dx}\left[u\cdot \frac{1}{v}\right] = u'\cdot \frac{1}{v} + u\cdot \left(\frac{1}{v}\right)'$$

Reciprocal Rule 대입: $(1/v)' = -v'/v^2$

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'}{v} - u\cdot \frac{v'}{v^2} = \frac{u'v}{v^2} - \frac{uv'}{v^2} = \frac{vu' - uv'}{v^2}$$

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3.3 예제

1. $y = \dfrac{x^5}{x^3} = x^2$실제로 $y = x^2$ 이니 $y' = 2x$와 일치.
2. Quotient Rule로 확인해보자. $u=x^5, v=x^3$
   $$u' = 5x^4,\quad v' = 3x^2$$
   $$y' = \frac{v u' - u v'}{v^2} = \frac{x^3\cdot 5x^4 - x^5\cdot 3x^2}{x^6} = \frac{5x^7 - 3x^7}{x^6} = \frac{2x^7}{x^6} = 2x$$
3. $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$중요한 공식: $$\dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$$
4. $u=\sin x, v=\cos x$
   $$u' = \cos x,\quad v' = -\sin x$$
   $$y' = \frac{v u' - u v'}{v^2} = \frac{\cos x\cdot \cos x - \sin x\cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

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4. General Power Rule (일반 멱함수 미분)

이제 $x^n$을 넘어서, 일반적인 함수 $u(x)$의 멱에 대한 미분으로 확장하자.

4.1 정수 지수에 대한 Power Rule

목표:
$$\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n [u(x)]^{n-1} u'(x)$$

(정수 $n$에 대해)

(1) 작은 $n$에서 확인

• $n=1$: $$\frac{d}{dx}[u] = u'$$
• $n=2$: $u^2 = u\cdot u$
  $$(u^2)' = u'u + uu' = 2uu'$$
• $n=3$: $u^3 = u^2 \cdot u$
  $$(u^3)' = (u^2)'u + u^2 u' = (2uu')u + u^2 u' = 3u^2u'$$

패턴: $n u^{n-1}u'$.

(2) 수학적 귀납법

가정: $$\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1}u'$$ 이 어떤 양의 정수 $n$에 대해 성립.

$n+1$에 대해 보자.
$$u^{n+1} = u^n \cdot u$$

Product Rule:
$$(u^{n+1})' = (u^n)'u + u^n u'$$

귀납 가정 대입: $(u^n)' = n u^{n-1}u'$

$$(u^{n+1})' = (n u^{n-1}u')u + u^n u' = n u^n u' + u^n u' = (n+1)u^n u'$$

따라서 모든 양의 정수 $n$에 대해
$$\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1}u'$$

(3) 음의 정수 지수

$u(x)\neq 0$ 이고 $n=-m$ (양의 정수 $m$)일 때
$$u^n = u^{-m} = \frac{1}{u^m}$$

Reciprocal Rule과 위 결과 사용:
$$(u^{-m})' = \left(\frac{1}{u^m}\right)' = -\frac{(u^m)'}{(u^m)^2} = -\frac{m u^{m-1}u'}{u^{2m}} = -m u^{-m-1}u'$$

즉 정수 $n$ (양수/음수) 전체에 대해
$$\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1}u'$$
가 성립한다.

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4.2 유리수 지수 (n = p/q)

$x>0$로 두고
$$y = x^{p/q}$$

두고 양변을 $q$ 제곱:
$$y^q = x^p$$

양변을 $x$에 대해 미분:

왼쪽(Chain Rule):
$$\frac{d}{dx}[y^q] = q y^{q-1}\frac{dy}{dx}$$

오른쪽:
$$\frac{d}{dx}[x^p] = p x^{p-1}$$

따라서
$$q y^{q-1}\frac{dy}{dx} = p x^{p-1}$$

정리하면
$$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q}\cdot \frac{x^{p-1}}{y^{q-1}}$$

$y = x^{p/q}$ 이므로
$$y^{q-1} = (x^{p/q})^{q-1} = x^{p(q-1)/q}$$

따라서
$$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} x^{p-1 - \frac{p(q-1)}{q}}$$

지수 정리:
$$p-1 - \frac{p(q-1)}{q} = \frac{p}{q} - 1$$

결국
$$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$$

즉 유리수 지수 $n=\dfrac{p}{q}$ 에 대해
$$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$$
가 성립한다.

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4.3 일반 함수 (u(x))에 대한 Power Rule (Chain Rule 형태)

지금까지는 $x^n$에 대해 봤고, 이제 $u(x)$로 일반화하면

$$\frac{d}{dx}[u(x)]^n = n [u(x)]^{n-1} u'(x)$$

(정수/유리수 지수 $n$ 모두)

예:

1. $y = (\sin x)^6$
2. $$y' = 6(\sin x)^5\cdot \cos x$$
3. $y = (x^2 + 1)^8$
4. $$y' = 8(x^2+1)^7\cdot 2x = 16x(x^2+1)^7$$
5. $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$
6. $$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

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