[Calculus] [1-3] The Slope and the Tangent Line

 

0. 이 파트의 목표

• 곡선 위 한 점에서의 기울기를 “접선의 기울기”로 이해한다.
• 접선의 방정식을
  $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
  꼴로 쓸 수 있음을 정리한다.
• 할선(secant line)의 기울기에서 극한을 취하면 접선 기울기가 된다는 걸 본다.

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1. 곡선은 확대하면 직선처럼 보인다

• 직선은 어디서나 기울기가 일정하다.
  예: $y = 2x + 1$ 의 기울기는 항상 2.
• 하지만 곡선 $y = x^3 - 2$, $y = x^4 - x^2 + 3$ 같은 함수는
  점에 따라 기울기가 계속 변한다.
• 그래도 아주 좁은 구간으로 확대(zoom-in) 하면,
  곡선도 그 점 근처에서는 거의 직선처럼 보인다.
• 이때 “그 점 근처에서 곡선을 가장 잘 근사하는 직선”을
  접선(tangent line) 이라고 부른다.

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2. 직선의 기울기 복습

• 직선 $y = mx + b$ 에서
  • $m$ : 기울기(slope)
  • $b$ : $x=0$일 때의 값(절편)
• 기울기 $m$은
  “오른쪽으로 1만큼 갔을 때, 위로 얼마나 올라가는지” 를 나타낸다.

기울기 정의를 다시 쓰면,

$$\text{slope}=\frac{\text{위로 간 양}}{\text{옆으로 간 양}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

• 직선에서는 $\Delta x$ 가 어디서나 같을 때 항상 같은 $m$ 이지만,
  곡선에서는 점마다 이 값이 달라진다 → 그래서 미분이 필요함.

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3. 곡선 위에서의 기울기 = 접선의 기울기

• 함수 $y = f(x)$ 의 그래프에서 점 $x = a$ 를 보자.
  • 점의 좌표: $(a, f(a))$
  • 그 점에서의 미분값: $f'(a)$
• 정의
  곡선 $y=f(x)$ 의 그래프에서
  점 $(a, f(a))$에서의 접선(tangent line)은
  1. 점 $(a, f(a))$ 를 지나고
  2. 기울기가 $f'(a)$ 인 직선
  으로 정의된다.
• 즉, “그 점에서 순간 변화율 = 접선의 기울기” 라고 보면 된다.

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4. 점–기울기(point-slope) 공식과 접선 방정식

• “한 점 $(x_0, y_0)$ 과 기울기 $m$”을 알고 있을 때,
  직선의 방정식은

$$y - y_0 = m(x - x_0)$$

• 접선의 경우
  • 점: $(a, f(a))$
  • 기울기: $m = f'(a)$

따라서 접선 방정식은

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

이 된다.

이 식은 앞으로 미분 쓸 때 계속 등장하는 기본 공식이라 외워두면 좋다.

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5. 예제 1 — $y = x^4 - x^2 + 3$ 의 접선

• 함수

$$f(x) = x^4 - x^2 + 3$$

• 접점을 $x = 1$ 로 두자.

1. 점의 좌표
   $$f(1) = 1^4 - 1^2 + 3 = 3$$

→ 점 $(1, 3)$

1. 도함수

$$f'(x) = 4x^3 - 2x$$

$$f'(1) = 4 \cdot 1^3 - 2 \cdot 1 = 2$$

→ 기울기 $m = 2$

1. 접선 방정식 (점–기울기 공식 사용)

$$y - 3 = 2(x - 1)$$

이 직선이 $y = x^4 - x^2 + 3$ 에 $x=1$에서 접하는 접선이다.

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6. 법선(Normal line)

• 곡선에 대해 “수직으로 나가는 직선”을 법선(normal line) 이라고 한다.
• 접선의 기울기가 $m$ 이라면,
  법선의 기울기는 $-\dfrac{1}{m}$ 이다.
  (두 직선이 수직이면 기울기 곱이 $-1$)

예제 2 — $y = x^3 - 2$ 에서 접선과 법선

• 함수

$$y = x^3 - 2$$

• 점: $x=2$

$$y = 2^3 - 2 = 6$$

→ 점 $(2, 6)$

• 도함수

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$

$$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=2} = 3 \cdot 2^2 = 12$$

1. 접선 방정식

$$y - 6 = 12(x - 2)$$

1. 법선 방정식

기울기 $m = 12$ 이므로 법선 기울기

$$m_{\text{normal}} = -\frac{1}{12}$$

따라서

$$y - 6 = -\frac{1}{12}(x - 2)$$

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7. 할선(Secant)에서 접선으로 — 극한 관점

• 곡선 $y = f(x)$ 위 두 점 $(a, f(a))$, $(c, f(c))$ 를 잇는 직선을 할선(secant line) 이라고 한다.
• 이 할선의 기울기는

$$\text{slope of secant} =\frac{f(c) - f(a)}{c - a}$$

• 이제 $c$ 를 $a$ 쪽으로 가까이 보내면,
  두 점이 하나의 점에 가까워지고 할선이 접선으로 수렴한다.
• 이때 기울기의 극한이 바로 도함수:

$$f'(a)\lim_{c \to a}\frac{f(c) - f(a)}{c - a}$$

• 우리가 익숙한 정의

$$f'(a) =\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

과 완전히 같다. (여기서 $h = c - a$ 라고 보면 됨)

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8. 예제 3 — $y = \sin x$ 에서 $x = 0$

• 점: $(0, \sin 0) = (0, 0)$
• 다른 점: $(c, \sin c)$

이 두 점을 이은 할선의 기울기는

$$\frac{\sin c - \sin 0}{c - 0}\frac{\sin c}{c}$$

→ 할선의 방정식

$$y = \frac{\sin c}{c},x$$

• 이제 $c \to 0$ 으로 보내면, 잘 알려진 극한

$$\lim_{c \to 0} \frac{\sin c}{c} = 1$$

을 이용해서,

• 할선의 기울기 → 1
• 직선 방정식 → $y = x$

즉, $x=0$ 에서 $y = \sin x$ 의 접선은

$$y = x$$

이고, 이 점에서 도함수 값은

$$\left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=0} = 1$$

이 된다.

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9. 정리

• 접선: 곡선 $y = f(x)$ 에서 한 점 $(a, f(a))$를 지나며, 그 점에서의 기울기가 $f'(a)$ 인 직선
• 접선 방정식 (중요 공식):

$$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$

• 법선: 접선에 수직인 직선, 기울기는 $-\dfrac{1}{f'(a)}$
• 할선 기울기
  $\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}$ 의 극한이 $f'(a)$

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