[Calculus] [2-1] Linear Approximation

0. Introduction

물리에서 제일 처음 보는 모델 중 하나가

$$f(t) = vt$$

이런 직선(linear) 함수야. 속도 $v$가 일정하면, 시간–거리 그래프는 선형이고 아무 문제가 없어.

하지만 현실에서는 속도 $v(t)$가 계속 변하지? 그러면 $f(t)=vt$ 같은 단순 직선 모델은 금방 무너진다.
그렇다고 해서 “선형 모델은 쓸모 없다”가 아니라,

“아주 짧은 구간에서는, 어떤 함수라도 거의 직선처럼 보인다.”

이걸 수식으로 정리한 게 바로 Linear Approximation(선형 근사), 즉 접선으로 근사하기다.

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1. 접선(tangent line) = 가장 좋은 일차 근사

어떤 함수 $y = f(x)$가 있고, $x=a$ 근처에서 그 함수를 “직선”으로 대신 쓰고 싶다고 하자.
우리가 알고 있는 건:

• 그 점에서의 함수값: $f(a)$
• 그 점에서의 기울기(미분값): $f'(a)$

이 두 정보를 만족하는 직선은 딱 하나뿐이다.
기울기가 $f'(a)$이고 점 $(a, f(a))$을 지나는 직선의 방정식은

$$Y = f(a) + f'(a)(x-a).$$

여기서

• $Y$ : 실제 그래프 대신 쓸 직선 모델 값
• $x-a$ : 기준점 $a$에서 떨어진 양, 보통 $\Delta x$라고 씀

보통 이렇게도 적어:

$$\Delta x = x-a,\quad \Rightarrow\quad Y = f(a) + f'(a)\Delta x.$$

이 직선은 $x=a$에서 실제 함수 $f(x)$와

• 값도 같고 ($Y = f(a)$),
• 기울기도 같다 ($Y'(a)=f'(a)$).

그래서 $x=a$ 근처에서는

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$$

라고 쓸 수 있고, 이걸 Linear Approximation 또는 접선 근사라고 부른다.

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2. $\Delta y$ vs. $dy$: “변화량 ≈ 미분”

기호를 조금만 바꿔보자.

• 실제 함수값의 변화:
  $$\Delta y = f(x) - f(a) = f(a+\Delta x) - f(a)$$
• 접선 모델이 예측하는 변화:
  $$dy = f'(a),\Delta x$$

Linear Approximation의 핵심 문장은 바로 이거야:

$x$의 변화 $\Delta x$가 매우 작을 때,
$$\Delta y \approx dy = f'(a)\Delta x.$$

즉,

$$f(a+\Delta x) - f(a) \approx f'(a)\Delta x.$$

• 왼쪽: 진짜 함수 변화량
• 오른쪽: “기울기 × 입력 변화량”이라는 아주 단순한 모델

그래서 앞으로

• $dy$ : 미분이 예측하는 변화량 (선형 모델)
• $\Delta y$ : 실제 함수값 변화

라고 생각하면 된다. 작은 $\Delta x$에서는 둘이 거의 같다.

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3. 예제 1 – $\sqrt{x}$ 를 직선으로 근사하기

PDF에서도 나오는 고전 예제 하나 해보자.
함수:

$$f(x) = \sqrt{x}.$$

우리는 $\sqrt{102}$ 같은 값을 계산기 없이 빠르게 근사하고 싶다.

3.1 기준점 선택

100 근처이므로, 계산하기 쉬운 $a=100$에서 선형 근사를 하자.

• $$f(100) = \sqrt{100} = 10.$$
• $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow f'(100) = \frac{1}{2\cdot 10} = \frac{1}{20}.$$

그러면 $x=100$에서의 접선(선형 근사)은

$$Y = 10 + \frac{1}{20}(x-100).$$

3.2 $\sqrt{102}$ 근사

여기서 $x=102$ 이므로

• $$\Delta x = x-a = 2.$$

선형 근사:

$$\sqrt{102} = f(102) \approx Y(102) = 10 + \frac{1}{20}\cdot 2 = 10 + 0.1 = 10.1.$$

실제 값은

• $\sqrt{102} \approx 10.0995…$

이니까, 오차는 약 $0.0005$ 정도. 꽤 정확하지?

해석:
$x$를 100에서 2만큼 올리면, 기울기 $1/20$이니 함수값은 약

$$\Delta y \approx \frac{1}{20}\cdot 2 = 0.1$$

만큼 증가한다. 그래서 $10$에서 $10.1$로 간다고 보는 거야.

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4. 예제 2 – 구의 부피: 작은 반지름 변화가 부피에 미치는 영향

이번에는 PDF 첫 페이지에서 나왔던 예제를 그대로 해보자.
반지름이 아주 큰 구가 있고, 반지름을 조금 키웠을 때 부피가 얼마나 늘어나는지 알고 싶다.

구의 부피:

$$V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3.$$

미분하면

$$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2.$$

해석:

$r$가 아주 조금 $dr$ 만큼 변하면, 부피 변화 $dV$는
$$dV \approx 4\pi r^2dr$$
이다.

이건 “구의 겉넓이 × 반지름 변화량”이야.
즉, 겉넓이 $4\pi r^2$를 가진 얇은 껍질(shell)의 부피라는 뜻.

4.1 숫자를 넣어보자

예를 들어,

• 반지름 $r = 4000$
• 반지름 변화 $dr = 80$ (조금 두껍게 만든다고 생각)

부피의 상대 변화:

$$\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\frac{dr}{r}.$$

여기에 숫자 대입:

$$\frac{dV}{V} \approx 3\cdot \frac{80}{4000} = 3\cdot 0.02 = 0.06.$$

그러니까

• 부피가 약 6% 증가한다는 뜻이야.

실제 정확한 계산을 해도 약 $6.1%$ 정도라서,
Linear Approximation이 꽤 좋은 근사를 준다는 걸 볼 수 있다.

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