[Calculus] [2-3] Second Derivatives: Bending and Acceleration

1. Introduction

이번 섹션에서는 두 번째 미분(2차 미분) 이 뭘 의미하는지 정리한다.
제목 그대로 키워드는

• bending (굽음, 오목/볼록)
• acceleration (가속도)

이다.

지금까지는

• $f'(x) > 0$ ⇒ $f(x)$ 증가
• $f'(x) < 0$ ⇒ $f(x)$ 감소

이 정도를 봤는데, 이제 질문을 한 번 더 깊게 들어간다.

“그래프가 어떻게 휘는지는 2차 미분 $f''(x)$ 로 볼 수 있을까?”

답은 그렇다 이고, 이 섹션에서 그 직관 + 수식을 같이 정리한다.

이번 포스팅에서 다룰 것:

• 1차 미분 vs 2차 미분: 역할 비교
• 오목/볼록(concavity)와 2차 미분 부호
• 선형 근사에 한 항 더 붙인 이차 근사(quadratic approximation)
• 물리에서의 의미: 위치–속도–가속도
• 2차 미분을 이용한 극값 판정(second derivative test)

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1. 1차 미분 vs 2차 미분

먼저 큰 그림부터 다시 잡자.

• $f'(x)$ : 기울기, 순간 변화율
• $f''(x)$ : 기울기의 변화율 (slope가 어떻게 바뀌는지)

그래프 감각으로 보면:

• $f'(x)$ 는 “그래프가 올라가는지/내려가는지”를 말해준다.
• $f''(x)$ 는 “그래프가 위로 휘는지/아래로 휘는지”를 말해준다.

조금 더 공식적으로는

• $f'(x) = \dfrac{d}{dx} f(x)$
• $f''(x) = \dfrac{d}{dx} f'(x)$

즉, 1차 미분의 미분이 바로 2차 미분이다.

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1. 굽음(concavity)와 2차 미분

그래프가 어떻게 휘는지는 보통 이렇게 말한다.

• 볼록 위(concave up)
  • 그릇처럼 아래가 파이고 위로 열린 모양
  • “웃는 얼굴” 모양 🙂
• 오목(concave down)
  • 돔처럼 위가 둥글게 솟은 모양
  • “찡그린 얼굴” 모양 ☹️

이 두 가지는 2차 미분으로 구분할 수 있다.

정리 (concavity와 2차 미분)

• $f''(x) > 0$ 이면, $f$ 는 그 점 근처에서 concave up (볼록 위)
• $f''(x) < 0$ 이면, $f$ 는 그 점 근처에서 concave down (오목)

예를 들어,

• $f(x) = x^2$
  • $f'(x) = 2x$
  • $f''(x) = 2 > 0$ (항상 양수)
    ⇒ 항상 볼록 위 (그릇 모양)
• $f(x) = -x^2$
  • $f'(x) = -2x$
  • $f''(x) = -2 < 0$
    ⇒ 항상 오목 (돔 모양)

그래프 위에서 접선의 위치로도 볼 수 있다.

• $f''(x) > 0$ (볼록 위):
  접선이 그래프 아래에 깔려 있다.
  ⇒ “선형 근사(접선 근사)가 항상 실제값보다 작다.”
• $f''(x) < 0$ (오목):
  접선이 그래프 위에 있다.
  ⇒ “선형 근사가 실제값을 항상 과대 평가한다.”

이게 바로 다음에 나오는 2차 근사식에서 중요한 역할을 한다.

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1. 2차까지의 근사식 (quadratic approximation)

3.1에서 우리는 $x = a$ 근처에서

$$
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)
$$

라는 선형 근사(linear approximation) 만 썼다.
2차 미분까지 고려하면, 여기에 항을 하나 더 붙일 수 있다:

$$
f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2
$$

이게 바로 quadratic approximation (2차 근사) 이다.

• 첫 번째 항 $f(a)$ : 높이
• 두 번째 항 $f'(a)(x-a)$ : 기울기
• 세 번째 항 $\dfrac12 f''(a)(x-a)^2$ : 굽음(휘는 정도)

여기서도 부호가 중요하다.

• $f''(a) > 0$ : $(x-a)^2$ 앞의 계수가 양수 → 아래가 파인 포물선 → 볼록 위
• $f''(a) < 0$ : 계수가 음수 → 위로 볼록한 포물선 → 오목

또한,

• $f''(a) > 0$ 이면, 접선만 썼을 때는 항상 값이 너무 작고
  $\dfrac12 f''(a)(x-a)^2$ 항이 그걸 위로 “보정”해 준다.
• $f''(a) < 0$ 이면, 접선만 썼을 때는 값이 너무 크고
  2차 항이 그걸 아래로 “깎아” 준다.

그래서

• linear approximation: 근처에서 “직선”으로 보는 것
• quadratic approximation: 거기에 “휘는 정도”까지 반영한 것

이라고 이해하면 된다.

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1. 물리에서의 의미: 가속도(acceleration)

2차 미분은 물리에서 가속도(acceleration) 로 등장한다.

• 위치 함수 $s(t)$ 를 시간 $t$에 대해 보면,
  • 속도:
    $$
    v(t) = s'(t)
    $$
  • 가속도:
    $$
    a(t) = s''(t)
    $$

단위도 그대로 따라간다.

• $s(t)$ : 거리 단위 (예: m)
• $v(t)$ : 거리 / 시간 (m/s)
• $a(t)$ : 거리 / 시간² (m/s²)

즉, 2차 미분은

“속도가 얼마나 빨리 변하고 있는지”

를 나타낸다. 다시 말해, 속도의 변화율이다.

4.1 간단한 예: $s(t) = t^2$

$$
s(t) = t^2
$$

이면

• 속도
  $$
  v(t) = s'(t) = 2t
  $$
• 가속도
  $$
  a(t) = s''(t) = 2
  $$

그래프적으로 보면

• $s(t)$ 는 위로 볼록한 포물선 (항상 $s''(t)=2>0$)
• 속도는 시간이 지날수록 선형으로 증가
• 가속도는 일정 (꾸준히 가속 중인 상황)

4.2 진동 운동: $s(t) = \sin(2t)$

PDF에 나오는 예를 그대로 써보면,

$$
s(t) = \sin(2t)
$$

• 속도
  $$
  v(t) = s'(t) = 2\cos(2t)
  $$
• 가속도
  $$
  a(t) = s''(t) = -4\sin(2t)
  $$

해석:

• $s(t)$ : 위치
• $v(t)$ : 위치의 시간에 따른 변화 (최대 속도는 $2$)
• $a(t)$ : 속도의 변화 (최대 가속도는 $4$)

이렇게 진동하는 운동에서도 2차 미분 $s''(t)$ 가 그래프의 “휘는 정도”와 물리적 “가속도”를 동시에 설명해 준다.

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1. 증가 vs 증가율 vs 증가율의 증가

PDF에서는 인구(population) 예시도 잠깐 나온다.
함수 $f(t)$ 를 “시간에 따른 인구”라고 생각해보자.

• $f(t) > 0$ : 인구가 양수 (당연한 상태)
• $f'(t) > 0$ : 인구가 늘고 있다 (growth)
• $f''(t) > 0$ : “늘어나는 속도”가 더 커지고 있다 (growth rate가 증가)

즉,

• 인구가 늘고 있는 것($f'(t) > 0$)과
• 그 늘어나는 속도가 계속 빨라지는 것($f''(t) > 0$)은
  다른 이야기다.

그래프적으로는

• $f'(t) > 0$ : 기울기가 양수 → 오른쪽으로 갈수록 위로 올라감
• $f''(t) > 0$ : 기울기가 점점 더 커짐 → “점점 더 가파르게” 올라감 (볼록 위)

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1. 2차 미분을 이용한 극값 판정 (second derivative test)

3.2에서 우리는

• 극대/극소 후보점: $f'(x) = 0$ (또는 $f'$ 미분 불가능한 점)

이라는 걸 봤다.
여기에 이제 $f''(x)$ 를 가져와서 “max인지 min인지” 빠르게 판단할 수 있다.

Second Derivative Test (2차 미분 판정법)

1. $f'(a) = 0$ 이고 $f$ 가 $a$ 근처에서 두 번 미분 가능하다고 하자.
2. 이때
   • $f''(a) > 0$ 이면, $x = a$ 에서 local minimum
   • $f''(a) < 0$ 이면, $x = a$ 에서 local maximum
   • $f''(a) = 0$ 이면, 이 테스트로는 결정 불가 (다른 방법 필요)

왜 그럴까?
이차 근사식을 떠올리면 된다.

$$
f(x) \approx f(a) + \frac{1}{2} f''(a)(x-a)^2
$$

여기서 $f'(a)=0$ 이라서 1차항이 사라진 상황이다.

• $f''(a) > 0$ 이면, 오른쪽은 “위로 볼록한 포물선”처럼 생김
  ⇒ $x=a$ 가 바닥 (local minimum)
• $f''(a) < 0$ 이면, “아래로 볼록한 포물선”
  ⇒ $x=a$ 가 꼭대기 (local maximum)

그래프 느낌 그대로를 수식으로 써 놓은 게 이 판정법이다.