[Calculus] [2-2] Maximum and Minimum Problems

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0. Introduction

이번 섹션에서는 극댓값 / 극솟값 문제 (Maximum and Minimum Problems) 를 다룬다.

앞에서 우리는

• 기울기 = 미분 = 순간 변화율이라는 것,
• 그리고 아주 짧은 구간에서는 곡선이 거의 직선처럼 보인다는 것

을 봤다.

이제 이걸 이용해서, 함수가 어디에서 가장 크고/작은 값을 가지는지 분석해보자.

핵심 아이디어는 다음 한 줄이다.

내부에서 나타나는 극댓값/극솟값은 보통
그 점에서의 기울기, 즉 도함수가 0이 된다.

즉, 어떤 점 $x = a$ 가 “꼭대기”나 “바닥”이라면, 보통

$$
f'(a) = 0
$$

이 성립한다.

이번 포스팅에서는

• 극댓값 / 극솟값의 정의 (local / global),
• 왜 내부 극값에서 도함수가 0이 되는지 (증명 포함),
• 극값을 실제로 찾는 절차,
• 간단한 예제

까지 정리해 보자.

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1. 극대 / 극소의 개념

1.1 국소(로컬) 극대 / 극소

함수 $f(x)$ 에 대해, 어떤 점 $x = a$ 가

• 그 근처의 다른 점들보다 크면 → local maximum
• 그 근처의 다른 점들보다 작으면 → local minimum

이라고 부른다.

조금 더 수식으로 쓰면, 어떤 $\delta > 0$ 가 있어서

• local max:
• $$
  |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) \le f(a)
  $$
• local min:
• $$
  |x - a| < \delta \Rightarrow f(x) \ge f(a)
  $$

그래프 감각으로는:

• local max: 그 주변만 보면 “꼭대기”
• local min: 그 주변만 보면 “바닥”

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1.2 절댓값(전체) 최대 / 최소

정의역 전체를 놓고

• $f(x)$ 가 전체에서 완전히 가장 큰 값,
• 또는 완전히 가장 작은 값을 가지면,

이 값들을 absolute (global) maximum/minimum 이라고 부른다.

예를 들어,

• $f(x) = x^2$ 를 실수 전체에서 보면
  • global minimum: $x = 0$, $f(0) = 0$
  • 위로 무한히 커지므로 global maximum은 없다.

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2. 내부 극값에서 도함수는 왜 0인가?

가장 중요한 사실:

$f$ 가 $x = a$ 에서 미분 가능이고,
$a$ 가 정의역의 내부 점이면서 local max 또는 local min 이라면

$$
f'(a) = 0
$$

2.1 직관적인 그림

$x = a$ 가 local maximum인 상황을 생각하자.

• 왼쪽에서 $a$ 쪽으로 다가올 때:
  • $x < a$ 에서 $x \to a$ 로 가면 $f(x) \le f(a)$
  • 왼쪽에서는 “올라가는 중” → 기울기 $\ge 0$ 느낌
• 오른쪽에서 $a$ 쪽으로 다가올 때:
  • $x > a$ 에서 $x \to a$ 로 가도 여전히 $f(x) \le f(a)$
  • 오른쪽에서는 “내려가는 중” → 기울기 $\le 0$ 느낌

왼쪽 기울기는 0 이상, 오른쪽 기울기는 0 이하인데,
둘이 같아서 미분이 존재해야 하므로 결국

$$
f'(a) = 0
$$

이 될 수밖에 없다.

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2.2 엄밀한 증명 (difference quotient)

$a$ 가 local maximum이라고 가정하자.
그러면 어떤 작은 구간에서 항상 $f(a) \ge f(x)$ 이다.

1. 왼쪽에서의 difference quotient$$
   f(a + h) \le f(a)
   $$$$
   \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \ge 0
   $$$h \to 0^-$ 로 보낼 때,
2. $$
   \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \ge 0
   $$
3. (분자는 음수 또는 0, 분모는 음수 → 비는 0 이상)
4. 따라서
5. $h < 0$ 인 작은 값을 잡으면 $a + h < a$ 이고,
6. 오른쪽에서의 difference quotient$$
   \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \le 0
   $$$h \to 0^+$ 로 보내면,
7. $$
   \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} \le 0
   $$
8. (분자는 음수 또는 0, 분모는 양수 → 비는 0 이하)
9. 이번에는 $h > 0$ 인 작은 값. $a + h > a$ 이고 여전히 $f(a + h) \le f(a)$ 이다.
10. 미분 가능성 사용
11. $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}f'(a)$$ 그런데
    • 왼쪽 극한은 $0$ 이상,
    • 오른쪽 극한은 $0$ 이하,
    이고 두 값이 같으므로, 결국 그 값은 0이 된다.
12. $$
    f'(a) = 0
    $$
13. 이 한 값이 존재해야 한다.
14. $f$ 가 $x = a$ 에서 미분 가능이라면,

local minimum 경우도 부등호 방향만 바뀌고 똑같이 증명된다.

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3. 극댓값 / 극솟값을 찾는 기본 절차

실제 문제에서는 보통 다음 순서를 따른다.

1. 도함수 계산
2. $$
   f'(x) \text{ 를 구한다.}
   $$
3. critical point 찾기
   • $f'(x) = 0$ 이 되는 점
   • $f'(x)$ 가 존재하지 않는 점
   둘 다 임계점(critical points) 이다.
4. 구간 문제라면 끝점 포함
   • 내부의 critical points
   • 끝점 $x = a, b$
   모두 후보로 포함한다.
5. 문제에서 $[a,b]$ 처럼 구간이 주어지면
6. max / min 분류
   • 1차 도함수의 부호 변화를 보거나,
   • (나중에 배울) 2차 도함수 테스트를 사용한다.
   1차 도함수 부호 변화 기준:
   • 왼쪽에서 $f'(x) > 0$, 오른쪽에서 $f'(x) < 0$
     → local maximum
   • 왼쪽에서 $f'(x) < 0$, 오른쪽에서 $f'(x) > 0$
     → local minimum
   • 부호가 안 바뀌면 극값이 아니다.
7. 각 후보점에서

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4. 예제 1 – 다항식에서 극대/극소 찾기

다음 함수를 보자.

$$
f(x) = x^3 - 3x
$$

4.1 도함수와 critical point

먼저 도함수:

$$
f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)
$$

critical point는

$$
f'(x) = 0
\Rightarrow
x^2 - 1 = 0
\Rightarrow
x = -1,\ 1
$$

따라서 $x = -1, 1$ 이 후보점이다.

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4.2 부호 변화로 분류

구간을 나누어 $f'(x)$ 부호를 보자.

• 구간 1: $x < -1$$$
  f'(-2) = 3(4 - 1) = 9 > 0
  $$
• ⇒ 이 구간에서 $f$ 는 증가.
• 예를 들어 $x = -2$:
• 구간 2: $-1 < x < 1$$$
  f'(0) = -3 < 0
  $$
• ⇒ 이 구간에서 $f$ 는 감소.
• 예를 들어 $x = 0$:
• 구간 3: $x > 1$$$
  f'(2) = 3(4 - 1) = 9 > 0
  $$
• ⇒ 이 구간에서 $f$ 는 다시 증가.
• 예를 들어 $x = 2$:

정리하면

• $x = -1$
  • 왼쪽: 증가
  • 오른쪽: 감소
    ⇒ local maximum
• $x = 1$
  • 왼쪽: 감소
  • 오른쪽: 증가
    ⇒ local minimum

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4.3 극값의 함수값

각 점에서 함수값을 계산하면,

$$
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2
$$

$$
f(1) = 1^3 - 3\cdot 1 = 1 - 3 = -2
$$

따라서

• local max: $x = -1$, $f(-1) = 2$
• local min: $x = 1$, $f(1) = -2$

가 된다.

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5. 예제 2 – 구간에서 absolute max / min 찾기

이번에는 구간 $[0, 10]$ 에서 극댓값/극솟값을 구해보자.

$$
f(x) = x(10 - x)
$$

이 함수는 “밑변이 $x$, 높이가 $10 - x$ 인 직사각형의 넓이”로 볼 수도 있다.

5.1 도함수와 임계점

먼저 전개하면

$$
f(x) = 10x - x^2
$$

도함수는

$$
f'(x) = 10 - 2x
$$

critical point는

$$
f'(x) = 0
\Rightarrow
10 - 2x = 0
\Rightarrow
x = 5
$$

따라서 후보점은

• 내부: $x = 5$
• 끝점: $x = 0,\ 10$

총 세 개다.

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5.2 각 점에서 함수값 비교

각 점에서 함수값을 계산해보면,

$$
f(0) = 0\cdot 10 = 0
$$

$$
f(10) = 10\cdot 0 = 0
$$

$$
f(5) = 5(10 - 5) = 25
$$

따라서

• $[0,10]$ 에서 최댓값: $x = 5$, $f(5) = 25$
• 최솟값: $x = 0,\ 10$, $f = 0$

이 된다.

이 예제의 포인트:

구간 전체에서 max/min을 묻는 문제에서는
임계점 + 끝점 모두 다 봐야 한다.

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