[Calculus] [2-4] Graphs

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0. Introduction

이번 섹션에서는 제목 그대로 Graphs,
즉 “미분을 이용해서 함수 그래프 전체 모양을 읽는 법”을 정리한다.

앞에서 우리가 한 것들을 한 번 모아보면:

• 접선(선형 근사, linear approximation)
• 극댓값 / 극솟값과 1차 미분
• 오목/볼록(concavity), 가속도(acceleration)와 2차 미분

이제 이 정보들을 한 번에 써서

함수식만 보고 그래프의 대략적인 모양을 그릴 수 있게 되는 것

이 이번 섹션의 목표라고 보면 된다.

이번 포스팅에서 다룰 내용:

• 그래프를 분석할 때 기본적으로 체크해야 하는 정보들
• 1차 미분으로 보는 증가/감소, 극값
• 2차 미분으로 보는 오목/볼록, 변곡점
• 이걸 합쳐서 “그래프 스케치 알고리즘” 만들기
• 간단한 예제 1개

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1. 그래프를 볼 때 기본적으로 체크할 것들

함수 $y = f(x)$ 의 그래프를 그리려고 할 때,
미분을 쓰기 전에 먼저 이런 것들을 본다.

1. 정의역(domain)
   • 함수가 어디에서 정의되는지
   • 예: 분모가 0 되는 점 제외, 로그/제곱근의 제약 등
2. 절편(intercepts)
   • x축 절편: $f(x) = 0$ 의 해들
   • y축 절편: 정의돼 있다면 $f(0)$
3. 무한대에서의 거동 (끝에서 어떻게 가는지)
   • $x \to \infty$, $x \to -\infty$ 에서 $f(x)$ 가
     • 발산하는지
     • 0으로 가는지
     • 어떤 직선으로 가까워지는지 (수평/비스듬한 점근선)
4. 수직 점근선(vertical asymptotes)
   • 보통 분모가 0이 되는 지점에서
   • $x \to a$ 일 때 $f(x) \to \pm\infty$ 가 되는 경우

이 정보만으로도 “대충 어디서 끊기고, 어디로 가는지”는 알 수 있다.
여기에 1차 / 2차 미분 정보를 얹으면 훨씬 더 정확한 스케치가 가능해진다.

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2. 1차 미분으로 보는 증가/감소, 극값

3.2에서 했던 내용을 그래프 관점에서 다시 보면:

• $f'(x) > 0$ 이면 그 구간에서 $f(x)$ 는 증가
• $f'(x) < 0$ 이면 그 구간에서 $f(x)$ 는 감소

그리고

• $f'(x) = 0$ 이 되는 점(또는 미분 불가능한 점)은
  그래프 모양이 바뀔 수 있는 임계점(critical point) 이다.

그래프 스케치에서는 보통 이렇게 한다:

1. $f'(x)$ 를 구한다.
2. $f'(x) = 0$ 의 해들을 찾아서 x축 위에 표시한다 (임계점).
3. 그 점들을 기준으로 구간을 나눈 뒤, 각 구간에서 $f'(x)$ 의 부호를 본다.
   • 부호표(sign chart)를 그리는 느낌으로

그러면:

• 어느 구간에서 곡선이 올라가고 (증가),
• 어느 구간에서 내려가고 (감소),
• 그 사이에 local max/min 이 어디서 나오는지

를 한 번에 볼 수 있다.

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3. 2차 미분으로 보는 오목/볼록, 변곡점

3.3에서 봤듯이, 2차 미분 $f''(x)$ 의 부호는
그래프가 어느 쪽으로 휘는지를 알려준다.

• $f''(x) > 0$ → concave up (볼록 위, 그릇 모양 🙂)
• $f''(x) < 0$ → concave down (오목, 돔 모양 ☹️)

그래프 스케치에서는 이렇게 쓴다.

1. $f''(x)$ 를 구하고, $f''(x) = 0$ 의 해를 찾는다.
2. 그 점들을 기준으로 구간을 나눈다.
3. 각 구간에서 $f''(x)$ 부호를 본다.
   • 여기도 부호표 느낌으로

그러면:

• 어디서 그래프가 웃는 모양(볼록 위)인지,
• 어디서 찡그린 모양(오목)인지,
• concavity 가 바뀌는 변곡점(inflection point) 이 어디인지

를 알 수 있다.

변곡점은:

• concave up ↔ concave down 이 실제로 바뀌는 지점이고,
• 보통 $f''(x) = 0$ 이거나 $f''(x)$ 가 정의되지 않는 지점에서 후보를 찾은 뒤,
  양옆에서 부호가 정말 바뀌는지 확인해야 한다.

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4. 그래프 스케치 “알고리즘”

실제 시험/과제에서 “그래프를 그려라”가 나오면,
다음 순서대로 하면 안정적이다.

1. 정의역, 절편, 점근선
   • 정의역(domain) 확인
   • 분모 0, 로그/루트 제약, 수직 점근선 후보
   • x절편: $f(x)=0$, y절편: $f(0)$
2. 1차 미분 $f'(x)$
   • $f'(x)$ 계산
   • $f'(x) = 0$ 인 점, $f'(x)$ 가 정의되지 않는 점 → 임계점(critical points)
   • 부호표로 증가/감소 구간, local max/min 판별
3. 2차 미분 $f''(x)$
   • $f''(x)$ 계산
   • $f''(x) = 0$ 또는 정의되지 않는 점 찾기
   • 부호표로 concave up/down, 변곡점 판별
   • 필요하면 second derivative test 로 극값 종류 확인
4. 정보 통합 후 스케치
   • x축 위에 임계점, 변곡점, 점근선 위치를 표시
   • 각 구간에서 증가/감소 + 오목/볼록 정보를 모두 반영
   • 마지막에 전체를 부드럽게 연결해서 곡선 완성

대부분의 “그래프 스케치” 문제는 이 4단계 절차를 반복적으로 쓰는 느낌이라고 보면 된다.

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5. 예제 – $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ 의 그래프

이제 실제로 하나 골라서, 위 절차를 적용해 보자.

함수:

$$
f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}
$$

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5.1 정의역, 점근선, 절편

1. 정의역
2. 분모 $x^2 + 1$ 은 어떤 실수 $x$ 에 대해서도 0이 되지 않는다.
   ⇒ 정의역은 모든 실수.
3. 수직 점근선
4. 분모가 0 되는 점이 없으므로, 수직 점근선도 없다.
5. x절편, y절편
   • x절편: $f(x) = 0$ 이려면 분자가 0 이어야 하므로 $x = 0$
   • y절편: $f(0) = 0$
   ⇒ 원점 $(0, 0)$ 을 지난다.
6. 무한대에서의 거동$$
   f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}
   \approx
   \dfrac{x}{x^2}
   = \dfrac{1}{x}
   \to 0
   $$⇒ $y = 0$ (x축) 이 수평 점근선(horizontal asymptote) 역할을 한다.
   (다만 $x=0$ 에서는 실제로 그래프가 축과 만난다.)
7. $x \to -\infty$ 에서도 마찬가지로 $0$ 으로 간다.
8. $x \to \infty$ 에서

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5.2 1차 미분: 증가/감소, 극값

$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ 을 미분하자. (분수 미분 공식 사용)

• 분자: $x$
• 분모: $x^2 + 1$

$$
f'(x)
= \dfrac{(x^2 + 1)\cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
= \dfrac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
= \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
$$

임계점은 $f'(x) = 0$ 인 점(분자=0)이다.

$$
1 - x^2 = 0
\Rightarrow x^2 = 1
\Rightarrow x = -1,\ 1
$$

또한 $(x^2 + 1)^2 > 0$ 이므로 분모=0인 점은 없다.
⇒ 임계점은 $x = -1, 1$ 두 개.

이제 부호를 보자.

• $x < -1$
  • 예: $x = -2$
  • $1 - x^2 = 1 - 4 = -3 < 0$
  • ⇒ $f'(x) < 0$ → 이 구간에서 감소
• $-1 < x < 1$
  • 예: $x = 0$
  • $1 - 0 = 1 > 0$
  • ⇒ $f'(x) > 0$ → 이 구간에서 증가
• $x > 1$
  • 예: $x = 2$
  • $1 - 4 = -3 < 0$
  • ⇒ $f'(x) < 0$ → 이 구간에서 다시 감소

정리하면:

• $x = -1$
  • 왼쪽: 감소
  • 오른쪽: 증가
  • ⇒ local minimum
• $x = 1$
  • 왼쪽: 증가
  • 오른쪽: 감소
  • ⇒ local maximum

각 점에서 함수값을 계산해보면,

$$
f(-1) = \dfrac{-1}{(-1)^2 + 1}
= \dfrac{-1}{2}
= -\dfrac{1}{2}
$$

$$
f(1) = \dfrac{1}{1^2 + 1}
= \dfrac{1}{2}
$$

따라서

• local min: $(-1,\ -\tfrac{1}{2})$
• local max: $(1,\ \tfrac{1}{2})$

를 가진다.

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5.3 2차 미분: 오목/볼록, 변곡점

이제 $f''(x)$ 를 구해 보자.
이미 $f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ 이다.

편하게

• $u(x) = 1 - x^2$
• $v(x) = (x^2 + 1)^2$

라고 두면,

• $u'(x) = -2x$
• $v'(x) = 2(x^2 + 1)\cdot 2x = 4x(x^2 + 1)$

분수 미분 공식:

$$
f''(x) = \dfrac{u'v - u v'}{v^2}
$$

계산을 쭉 정리하면 (중간 과정은 생략해도 좋고, 직접 연습해봐도 좋음),

$$
f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 3)}{(x^2 + 1)^3}
$$

이제 $f''(x) = 0$ 을 보면 된다.
분자는 $2x(x^2 - 3)$ 이므로

$$
2x(x^2 - 3) = 0
\Rightarrow x = 0 \text{ 또는 } x^2 = 3
\Rightarrow x = \pm\sqrt{3}
$$

분모 $(x^2 + 1)^3$ 는 항상 양수이므로, 이 세 점이 concavity 가 바뀔 수 있는 후보점이다.

부호를 정리하면:

• $x < -\sqrt{3}$
  • $x < 0$, $x^2 - 3 > 0$ → 분자 < 0 → $f''(x) < 0$ (오목)
• $-\sqrt{3} < x < 0$
  • $x < 0$, $x^2 - 3 < 0$ → 분자 > 0 → $f''(x) > 0$ (볼록 위)
• $0 < x < \sqrt{3}$
  • $x > 0$, $x^2 - 3 < 0$ → 분자 < 0 → $f''(x) < 0$ (오목)
• $x > \sqrt{3}$
  • $x > 0$, $x^2 - 3 > 0$ → 분자 > 0 → $f''(x) > 0$ (볼록 위)

즉,

• $x = -\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}$ 근처에서 concavity 가 바뀐다 → 변곡점 후보

실제 함수값까지 구하면 변곡점을 좌표로 쓸 수 있다.

예를 들면,

• $x = 0$ 일 때 $f(0) = 0$
  → $(0, 0)$ 은 x절편이면서 concavity 가 바뀌는 변곡점이기도 하다.

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5.4 전체 그림 정리

지금까지 모은 정보들을 한 번에 정리하면:

• 정의역: 모든 실수
• x절편 / y절편: $(0, 0)$
• 수평 점근선: $y = 0$ (양쪽 끝에서 0으로 감)
• local min: $(-1, -\tfrac{1}{2})$
• local max: $(1, \tfrac{1}{2})$
• 변곡점 후보: $x = -\sqrt{3},\ 0,\ \sqrt{3}$ (각각에서 concavity 변화)

이걸 기반으로:

• 왼쪽 $x \to -\infty$ 에서는 $y \to 0$ 쪽에서 시작해서,
• $(-1, -\tfrac{1}{2})$ 에서 local min,
• $(0, 0)$ 을 지나고 concavity 가 바뀌고,
• $(1, \tfrac{1}{2})$ 에서 local max,
• 다시 내려가면서 $x \to \infty$ 에서 $y \to 0$ 으로 접근하는 모양

을 부드럽게 연결하면,
$f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ 의 전형적인 “낮은 S자 곡선” 모양이 나온다.