[Calculus] [2-5] Parabolas, Ellipses, and Hyperbolas

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0. Introduction

이번 섹션에서는 대표적인 2차 곡선(conic sections) 인

• 포물선(parabola)
• 타원(ellipse)
• 쌍곡선(hyperbola)

을 한 번에 정리한다.

핵심 포인트는 두 가지 정도로 정리할 수 있다.

1. 이 곡선들은 모두 어떤 형태로든 2차식의 특수한 경우라는 것
2. $$
   Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
   $$
3. 적당한 이동(shift), 스케일(scale), (필요하면) 회전(rotation) 을 통해
   전부 “표준형(standard form)” 으로 단순해진다는 것

기하학적으로는, 이 곡선들은 전부 원뿔(cone)을 평면으로 자른 결과(conic section) 로도 이해할 수 있다.

• 수평으로 자르면 원(circle)
• 약간 기울이면 타원(ellipse)
• 더 기울이면 쌍곡선(hyperbola)
• “경계 각도”로 자르면 포물선(parabola)

이번 포스팅에서는

• 포물선의 표준형, 꼭짓점(vertex), 초점(focus), 준선(directrix)
• 타원의 표준형, 장축/단축, 초점과 “거리의 합 = 상수”
• 쌍곡선의 표준형, 점근선(asymptotes), 초점과 “거리의 차 = 상수”

까지 정리해보자.

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1. Parabola — 포물선의 기본 형태

가장 친숙한 2차함수부터 시작하자.

$$
y = ax^2 + bx + c
$$

여기서 중요한 건 꼭짓점(vertex) 위치다.
미분으로 보면

$$
y' = 2ax + b
$$

최소(또는 최대)점에서는 기울기가 0이므로

$$
2ax + b = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -\dfrac{b}{2a}
$$

따라서 꼭짓점의 $x$ 좌표는 항상

$$
x_V = -\dfrac{b}{2a}
$$

이고, $y$ 좌표는 그냥 $y_V = f(x_V)$ 로 계산하면 된다.

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2. 포물선의 표준형과 이동

2차식을 완전제곱(completing the square) 으로 정리하면
포물선을 “꼭짓점 기준”으로 표현할 수 있다.

가장 기본형:

$$
y = x^2
$$

• 꼭짓점: $(0,0)$
• 위쪽으로 열린 포물선

여기서 $x$ 방향으로 $h$, $y$ 방향으로 $k$ 만큼 평행이동 하면

$$
y - k = (x - h)^2
$$

또는

$$
y = (x - h)^2 + k
$$

이 된다.
이 식은 “꼭짓점이 $(h,k)$ 인 포물선” 을 의미한다.

좀 더 일반적으로는

$$
y = a(x - h)^2 + k
$$

형태를 쓴다. 여기서

• $a > 0$ 이면 위로 열린 포물선
• $a < 0$ 이면 아래로 열린 포물선
• $|a|$ 가 클수록 더 “좁고 가파른” 포물선

이라고 이해하면 된다.

 

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3. 포물선의 초점(focus)과 준선(directrix)

MIT 노트에서는 포물선을 거리의 관점으로 다시 정의한다.

포물선은 “한 점(초점, focus)과 한 직선(준선, directrix)까지의 거리가
항상 같은 점들의 집합” 이다.

가장 기본형 포물선부터 보자.

$$
y = x^2
$$

이 포물선을 조금 더 일반적인 “표준형” 으로 쓰면

$$
4py = x^2
\quad\text{(또는 } y = \dfrac{1}{4p}x^2\text{)}
$$

여기서 $p$ 는

• 꼭짓점에서 초점까지의 거리
• 꼭짓점에서 준선까지의 거리

를 동시에 나타내는 양이다.

이때

• 꼭짓점(vertex): $(0,0)$
• 초점(focus): $(0, p)$
• 준선(directrix): $y = -p$

이 된다.

$y = x^2$ 은 $4p = 1$ 인 특수한 경우이므로

$$
4p = 1 \quad\Rightarrow\quad p = \dfrac{1}{4}
$$

따라서

• 초점: $\bigl(0, \dfrac{1}{4}\bigr)$
• 준선: $y = -\dfrac{1}{4}$

이 된다.

조금 더 일반적으로

$$
y = a(x - h)^2 + k
$$

면, $a = \dfrac{1}{4p}$ 이므로 $p = \dfrac{1}{4a}$ 이고

• 초점: $(h,\ k + p)$
• 준선: $y = k - p$

로 쓸 수 있다.

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4. Ellipse — 타원의 표준형

이번에는 타원이다. 가장 대표적인 표준형은

$$
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
$$

이 경우

• 중심(center): $(0,0)$
• x축 방향 반지름(반장축, semi-major axis): $a$
• y축 방향 반지름(반단축, semi-minor axis): $b$

그래프 모양은 “가로로 긴 타원”.

• x축과 만나는 점: $(\pm a, 0)$
• y축과 만나는 점: $(0, \pm b)$

[[picture : 중심이 원점인 타원, x축에서 ±a, y축에서 ±b 표시, 장축/단축 구분]]

조금 더 일반적인 형태는 중심이 $(h,k)$ 로 옮겨진 경우:

$$
\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1
$$

이 식은

• 중심이 $(h,k)$
• x방향으로 $a$, y방향으로 $b$ 만큼 뻗은 타원

이라는 뜻이다.

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5. 타원의 초점과 “거리의 합 = 상수”

타원의 또 다른 중요한 관점은 초점(foci) 을 이용한 정의다.

표준형

$$
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)
$$

에 대해 타원의 두 초점은 x축 위의

$$
F_1 = (-c, 0), \quad F_2 = (c, 0)
$$

에 있고, 여기서 $c$ 는

$$
c^2 = a^2 - b^2
$$

로 정의된다.

타원의 기하학적 정의:

타원 위의 임의의 점 $(x,y)$ 에 대해
두 초점까지의 거리의 합이 항상 일정한 값 $2a$ 이다.

즉,

$$
\text{dist}(F_1,(x,y)) + \text{dist}(F_2,(x,y)) = 2a
$$

가 된다.

추상적으로 외우기보다는 이렇게 기억하면 편하다.

• 원(circle)은 $a = b = r$ 인 타원의 특수한 경우
• 이때 $c^2 = a^2 - b^2 = 0$ 이라서 $c = 0$
• 초점 두 개가 모두 중심으로 “겹쳐진” 경우가 바로 원

즉,
“원 ⊂ 타원” 이고,
타원은 “초점 둘이 조금 떨어진 원” 같은 느낌이다.

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6. Hyperbola — 쌍곡선과 점근선

이제 마지막 2차 곡선인 쌍곡선이다.
표준형은 두 가지가 있다.

• 위/아래로 열린 형태
• $$
  \dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1
  $$
• 좌/우로 열린 형태
• $$
  \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1
  $$

MIT 노트에서는 주로 위/아래로 열린 형태를 예로 많이 쓴다고 보면 된다.

예를 들어

$$
\dfrac{1}{4}y^2 - \dfrac{1}{9}x^2 = 1
$$

은

• $a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$
• $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$

인 쌍곡선이다.

쌍곡선의 중요한 특징 중 하나는 비스듬한 점근선(asymptotes) 이다.

표준형

$$
\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1
$$

에서 $x, y$ 둘 다 크게 가면, 오른쪽의 $1$에 비해 왼쪽 항들이 크기가 비슷해져

$$
\dfrac{y^2}{a^2} \approx \dfrac{x^2}{b^2}
$$

이 되고, 따라서

$$
\dfrac{y}{a} \approx \pm \dfrac{x}{b}
$$

즉, 점근선의 방정식은

$$
y = \dfrac{a}{b}x, \quad y = -\dfrac{a}{b}x
$$

이 된다.

그래프상에서 쌍곡선의 두 가지 팔(branch)이 이 두 직선을 “점점 따라가면서” 멀리 퍼져 나가는 모양이 된다.

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7. 쌍곡선의 초점과 “거리의 차 = 상수”

쌍곡선도 타원처럼 초점 두 개를 가진다.
다만 이번에는 거리의 차가 일정하다.

표준형

$$
\dfrac{y^2}{a^2} - \dfrac{x^2}{b^2} = 1
$$

에 대해, 초점은 y축 위의

$$
F_1 = (0, c), \quad F_2 = (0, -c)
$$

에 있고, 여기서 $c$ 는

$$
c^2 = a^2 + b^2
$$

로 정의된다. (타원과는 달리 $+$ 인 점 주의!)

쌍곡선의 기하학적 정의는 다음과 같다.

쌍곡선 위의 임의의 점 $(x,y)$ 에 대해,
두 초점까지의 거리의 차가 항상 $2a$ 로 일정하다.

즉,

$$
\bigl|\text{dist}(F_1,(x,y)) - \text{dist}(F_2,(x,y))\bigr| = 2a
$$

가 된다.

 

타원과 비교해 보면:

• 타원: 거리의 합 = 일정 ($2a$)
• 쌍곡선: 거리의 차 = 일정 ($2a$)

이라는 대칭적인 구조로 외워두면 훨씬 정리가 잘 된다.

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