[Calculus] [3-1] The Idea of the Integral

5.1 The Idea of the Integral

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0. Introduction

이번 섹션에서는 “적분이 대체 뭐냐”를 감각적으로 잡는 게 목표다.

핵심 키워드는 딱 두 개다.

1. 합의 극한(limit of sums)
2. 미분의 역연산(antiderivative)

Strang 책의 표현대로 요약하면:

적분은 “무한히 많은, 무한히 작은 것들을 더하는 문제”인데
직접 다 더하는 짓은 절대 하지 않는다.
그걸 똑똑하게 처리하는 도구가 바로 미적분이다.

조금 더 수식으로 말하면:

• 미분: 차이(difference)의 극한
  $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$
• 적분: 합(sum)의 극한
  $$\int_a^b f(x),dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f(x_k^*),\Delta x_k$$

근데 5.1에서는 이걸 딱딱한 정의로 밀어붙이기보다,

• “이산(discrete) 세계”에서 합과 차를 보고
• 그걸 연속(continuous) 세계로 옮기는 흐름
• 직사각형들을 잘게 쪼개서 나오는 “면적 = 적분” 직관

까지 잡는 데 집중할 거야.

 

• 

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1. 이산 세계: v와 f — “차”와 “합”

먼저 연속 함수로 가기 전에,
“연속의 전 단계”인 이산(discrete) 수열에서 시작해보자.

어떤 회사가 4년 동안 벌어들인 연간 소득을 다음처럼 두고:

• 1년차 소득: $v_1 = 1$
• 2년차 소득: $v_2 = 2$
• 3년차 소득: $v_3 = 3$
• 4년차 소득: $v_4 = 4$

이걸 누적해서 통장 잔고(또는 총 누적 소득) $f_j$ 를 정의하면 예를 들어

• $f_1 = 1$
• $f_2 = 3$
• $f_3 = 6$
• $f_4 = 10$

이렇게 될 수 있다. (실제로 $1,3,6,10$ 은 “삼각수” 수열)

여기서 눈여겨볼 관계는

• “연간 소득” $v_j$ 와
• “누적 소득” $f_j$ 사이의 연결이다.

실제로는

• 두 해 잔고의 차이가 그 해 소득이다:
  $$v_j = f_j - f_{j-1}$$
• 반대로 말하면, 소득들을 다 더하면 누적 소득이 된다:
  $$f_n = f_0 + \sum_{j=1}^n v_j$$

여기서

• $v_j$는 차이(difference)
• $f_j$는 합(sum)

즉, 이산 세계에서

• $v_j = f_j - f_{j-1}$ 는 “미분 같은 것” (차분)
• $f_n = f_0 + \sum v_j$ 는 “적분 같은 것”

이라고 볼 수 있다.

“차이(미분)를 알고 있으면, 합(적분)을 다시 복원할 수 있다.”

이 철학이 그대로 연속 함수의 미분–적분 관계로 이어진다.

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2. 은행 예제: “총 소득 = 그래프 아래 면적”

이제 이산이 아니라 연속 함수로 넘어가 보자.

어떤 투자 상품에 돈을 넣어 두었는데,

• 시간 $t$ (연 단위)에 따라
• 연간 소득률(또는 “연간 수익”)이 $v(t)$ 라는 연속 함수로 바뀐다.

우리가 궁금한 건:

“처음 4년 동안의 총 소득이 얼마인가?”

2.1 직사각형 4개 — 매우 거친 근사

가장 단순한 사람은 “연도를 1년 단위로만” 본다.

• 1년차에 소득률 $v(1)$
• 2년차에 소득률 $v(2)$
• 3년차에 소득률 $v(3)$
• 4년차에 소득률 $v(4)$

라고 놓고, 각 해를 하나의 직사각형으로 생각한다:

• 폭: 1년
• 높이: $v(1),v(2),v(3),v(4)$

그러면 총 소득 근사값은

$$
\text{총 소득} \approx v(1)\cdot 1 + v(2)\cdot 1 + v(3)\cdot 1 + v(4)\cdot 1
$$

[[picture : t=0~4 구간에서 v(t) 그래프와, 각 연도별로 높이가 v(1),v(2),v(3),v(4) 인 폭 1짜리 직사각형 4개를 그린 그림]]

이건 $[0,4]$ 구간에서 네 개의 큰 직사각형으로
그래프 아래 면적을 ‘대충’ 채운 것과 같다.

2.2 분할을 더 촘촘하게 — 4년 → 16분기

이제 조금 더 현실적인 사람은
“1년 단위는 너무 거칠고, 분기(quarter) 단위로 나눠야지!” 라고 생각한다.

• 4년 → 16개의 구간 (각각 길이 $\Delta t = \tfrac14$)
• 각 구간마다 어떤 시간 $t_k^*$ 에서의 값 $v(t_k^*)$ 를 높이로 사용

그러면 직사각형의

• 폭: $\Delta t = \tfrac14$
• 높이: $v(t_1^*), v(t_2^*), \dots, v(t_{16}^*)$

총 소득 근사값은

$$
\text{총 소득} \approx \sum_{k=1}^{16} v(t_k^*) \cdot \frac14
$$

직사각형이 많아지면 곡선에 더 잘 맞고,
따라서 “면적 ≈ 직사각형 면적의 합”이 점점 좋아진다.

2.3 주간, 일간, 무한분할 — 리만 합의 직관

같은 아이디어를 계속 반복해 보면:

• 4년 → 주 단위 → 직사각형 개수 수백 개
• 4년 → 일 단위 → 직사각형 개수 수천 개
• …
• 간격 $\Delta t$ 를 무한히 작게 만들고,
• 직사각형 개수 $n$ 을 무한히 크게 만들면,

우리가 직관적으로 얻는 것은

“총 소득 = 그래프 아래 면적 = 직사각형 면적들의 합의 극한”

이 된다.

수식으로 쓰면 (리만 합의 형식으로)

$$
\text{총 소득}
= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n v(t_k^*),\Delta t
$$

이 극한을 간단한 기호 하나로 쓰는 것이 바로

$$
\int_0^4 v(t),dt
$$

이다.

• $\int$ : “쭉 더한다”는 의미 (긴 S 모양 = sum 의 연속 버전)
• $v(t)$ : 더할 대상 (소득률 함수)
• $dt$ : “시간 간격이 아주 작은 덩어리”라는 표시
• $0,4$ : 시작/끝 구간

$$\int_0^4 v(t),dt$$
는 “0년에서 4년 사이의 총 소득(또는 누적량)” 이라고 읽으면 된다.

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3. 삼각형 예제: v(x) = 10x — 합의 극한 = 면적

MIT 노트에서 자주 등장하는 예제가 있다:

$$
v(x) = 10x
$$

이라는 직선 속도(또는 경제/물리량)를 생각해 보자.
$x$ 는 0에서 4까지라고 하자.

그래프 아래 영역을 보면,
그냥 삼각형 한 개다.

• 밑변 길이: $4$
• 최고 높이: $v(4) = 40$

그래서 정확한 면적은

$$
\text{면적(정확)} = \frac12 \times 4 \times 40 = 80
$$

 

이제 이걸 “직사각형의 합”으로 근사해보자.

3.1 n개의 직사각형으로 근사

$[0,4]$ 구간을 $n$개의 작은 구간으로 나눈다고 하자.

• 각 구간의 폭: $\Delta x = \dfrac{4}{n}$
• 오른쪽 끝점에서의 값으로 높이를 잡는다면
  $k$번째 직사각형의 높이는 $v(x_k) = 10x_k$

$x_k = \dfrac{4k}{n}$ 이니까

$$
v(x_k) = 10\cdot \frac{4k}{n} = \frac{40k}{n}
$$

따라서 직사각형 하나의 면적은

$$
\text{area}_k = v(x_k),\Delta x = \frac{40k}{n} \cdot \frac{4}{n} = \frac{160k}{n^2}
$$

$n$개의 직사각형을 모두 더하면

$$
\text{총 면적 근사} = \sum_{k=1}^n \frac{160k}{n^2}
= \frac{160}{n^2} \sum_{k=1}^n k
$$

여기서 익숙한 합 공식

$$
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
$$

을 쓰면

$$
\text{총 면적 근사}
= \frac{160}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}
= 80 \cdot \frac{n+1}{n}
$$

이제 $n\to\infty$ 로 보내면

$$
\lim_{n\to\infty} 80\cdot \frac{n+1}{n}
= 80\cdot \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)
= 80
$$

직사각형 개수를 무한히 늘리면
정확한 삼각형 면적 80에 수렴한다.

이게 바로

“합의 극한 = 면적” = 적분

이라는 그림이다.

우리는 이 값을 나중에 그냥

$$
\int_0^4 10x,dx = 80
$$

이라고 한 줄에 쓸 수 있게 될 거다.
(부정적분, 기본정리를 배운 뒤에)

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4. 적분 = 미분의 역연산 (Antiderivative)

지금까지는 “면적” 관점에서만 봤다.
이제 5.1 마지막에서 미리 살짝 던지는 아이디어가 하나 있다:

“미분이 ‘차이의 극한’이라면,
적분은 ‘그걸 다시 되돌리는 연산’이 아닐까?”

이산 버전에서는

• 차이: $v_j = f_j - f_{j-1}$
• 합: $f_n = f_0 + \sum_{j=1}^n v_j$

이었지.

연속 버전에서는

• 미분: $v(x) = f'(x)$
• 적분: $f(x)$ 를 다시 복원하는 연산

이렇게 연결된다.

즉,
$v(x)$ 가 어떤 함수 $f(x)$ 의 도함수라면 (즉 $f'(x) = v(x)$),

“$v(x)$ 의 적분은 $f(x)$ 이다.”

라고 말하게 된다.

예를 들어,

• $v(x) = \cos x$ 이고
  $f(x) = \sin x$ 인 경우

$$
f'(x) = \cos x \quad\Rightarrow\quad \int \cos x,dx = \sin x + C
$$

• $v(x) = x$ 이고
  $f(x) = \tfrac12 x^2$ 인 경우

$$
f'(x) = x \quad\Rightarrow\quad \int x,dx = \frac12 x^2 + C
$$

이렇게 “미분을 되돌리는 연산”이라는 의미에서
$f$ 를 $v$ 의 antiderivative(부정적분) 라고 부른다.

 

• “적분 = 합의 극한 = 면적”
• “적분 = 미분의 역연산(antiderivative)”

 

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