[Calculus] [3-2] Antiderivatives

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0. Introduction

5.1에서는 적분을

• “아주 잘게 자른 것들을 전부 더한 합의 극한”
• “그래프 아래 면적”

으로 봤다.

하지만 실제 계산에서 리만합(직사각형 무한 개)을 직접 계산하지는 않는다.
대신 훨씬 편한 길을 쓴다:

미분을 거꾸로 돌린다.
즉, 적분을 “미분의 역연산 = antiderivative(부정적분)”로 본다.

이번 섹션의 목표:

• 적분 기호 $\int$ 의 의미
• antiderivative 가 뭔지
• $x^n$ 꼴에서 쓰는 빠른 공식
• 상수항 $+C$ 의 의미
• antiderivative를 이용해서 면적을 계산하는 예제

까지 정리하는 것.

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1. Antiderivative의 정의

어떤 함수 $F(x)$ 가 다음을 만족한다고 하자.

$$
F'(x) = f(x)
$$

이때, $F$ 를 $f$ 의 antiderivative(부정적분, 원시함수) 라고 부른다.

이걸 적분 기호로 적으면

$$
\int f(x),dx = F(x) + C
$$

여기서

• $dx$ : “$x$ 에 대해 적분한다”는 표시
• $C$ : 적분 상수(constant of integration)

왜 $+C$ 가 붙을까?

• $F(x)$ 와 $F(x) + 7$ 은 미분하면 둘 다 $f(x)$ 다.
• 상수 항은 미분하면 $0$ 이기 때문.

그래서 **“미분을 되돌리는 연산”**인 적분은
상수만 다른 함수 전체를 한꺼번에 나타내게 된다.

$\int f(x),dx = F(x) + C$
는 “$F'(x) = f(x)$ 를 만족하는 모든 함수들의 집합”이라고 보면 된다.

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2. 적분과 antiderivative: 면적과의 연결

우리가 실제로 계산하고 싶은 건 이런 정적분이다.

$$
\int_a^b f(x),dx
$$

이건 5.1에서 봤듯이

• “$x=a$ 부터 $x=b$ 까지 $f(x)$ 를 쭉 더한 누적량”
• “그래프 $y=f(x)$ 아래의 면적”

이라고 볼 수 있다.

미적분의 기본정리에 따르면 (아이디어만):

$F'(x) = f(x)$ 인 antiderivative $F$ 가 있으면
$$
\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)
$$

즉,

1. 먼저 $\int f(x),dx = F(x)$ 를 찾고
2. 그 다음에 $F(b) - F(a)$ 를 계산하면
   곡선 아래 면적을 구할 수 있다.

이게 “리만합 무한계산” 대신 “antiderivative 하나 구해서 끝점 두 개만 빼기” 전략이다.

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3. 예제: $v(x) = \sqrt{x}$ 의 면적

대표적인 예제로

$$
v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \quad 0 \le x \le 4
$$

를 생각해보자.
곡선 $y = \sqrt{x}$ 아래에서 $x=0$ 부터 $x=4$ 까지의 면적은

$$
\int_0^4 \sqrt{x},dx = \int_0^4 x^{1/2},dx
$$

이다.

이걸 리만합으로 풀면 귀찮다.
대신 antiderivative를 쓰자.

3.1 $\int x^{1/2},dx$ 구하기

우리는 이미 미분 공식을 알고 있다.

$$
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
$$

이걸 거꾸로 사용하면 된다.

• 미분에서는 지수가 $n \to n-1$ 로 1 감소한다.
• 적분(antiderivative)에서는 지수가 1 증가해야 한다.

그래서 $x^{1/2}$ 의 antiderivative는

• 일단 지수를 1 올려서 $x^{3/2}$ 꼴이 되어야 하고,
• 계수는 미분해보면서 맞춘다.

먼저

$$
\frac{d}{dx} x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2}
$$

우리가 원하는 건 $x^{1/2}$ 이고, 지금은 $\dfrac{3}{2}x^{1/2}$ 이므로
계수를 $\dfrac{2}{3}$ 으로 줄여주면 된다.

$$
F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}
$$

그러면

$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)
= \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2}
= x^{1/2}
$$

따라서

$$
\int x^{1/2},dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
$$

이다.

3.2 정적분 계산

이제 이 antiderivative를 사용해 면적을 계산한다.

$$
\int_0^4 x^{1/2},dx
= \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4}
= \frac{2}{3}\cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}
$$

$4^{3/2}$ 를 계산하면

• $4^{1/2} = 2$
• $4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8$

따라서

$$
\int_0^4 x^{1/2},dx
= \frac{2}{3}\cdot 8 - 0
= \frac{16}{3}
$$

즉, 곡선 $y=\sqrt{x}$ 아래의 면적은 정확히 $\dfrac{16}{3}$ 이다.

포인트:
원래 정의(직사각형 무한 개의 합)로 가면 계산이 복잡한데,
antiderivative 하나($\frac{2}{3}x^{3/2}$)만 찾으면
끝점 두 개 $F(4)$, $F(0)$ 값만 빼서 면적을 바로 얻을 수 있다.

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4. 일반 멱함수 $x^n$ 의 부정적분 공식

위 패턴은 일반 멱함수에도 그대로 적용된다.

미분 공식:

$$
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}
$$

이 공식을 거꾸로 돌리면

$$
\int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)
$$

• 지수에 $+1$ 을 해주고,
• 앞에 $\dfrac{1}{n+1}$ 를 곱해주면 된다.

예외: $n = -1$ 인 경우

$$
\int x^{-1},dx = \int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C
$$

즉, $x^{-1}$ 의 antiderivative는 멱함수가 아니라 로그 함수다.

예시

• $\displaystyle \int x^2,dx = \frac{x^3}{3} + C$
• $\displaystyle \int x^5,dx = \frac{x^6}{6} + C$
• $\displaystyle \int \sqrt{x},dx = \int x^{1/2},dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$
• $\displaystyle \int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C$

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5. 적분 상수 $C$ 의 의미 정리

마지막으로 $+C$ 를 조금 더 정리하자.

• $F'(x) = f(x)$ 이면
  • $(F(x) + C)' = f(x)$ 도 항상 참이다.
• 반대로 $G'(x) = f(x)$ 인 다른 antiderivative $G$ 가 있다면
  $F$ 와 $G$ 의 차이는 항상 상수다.

즉,

“$f(x)$ 의 antiderivative는 상수항만 다른 함수들의 한 가족”이다.

그래서 부정적분에서는 항상

$$
\int f(x),dx = F(x) + C
$$

처럼 $C$ 를 붙여주는 것이 원칙이다.

그런데 정적분에서는

$$
\int_a^b f(x),dx = F(b) - F(a)
$$

를 쓰기 때문에, $C$ 가 자동으로 상쇄된다.

• $(F(x) + C)$ 를 써도
  $$
  (F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b) - F(a)
  $$
• 따라서 정적분 계산에서는 $+C$ 를 일부러 쓸 필요가 없다.

정리하자면

• 부정적분: 항상 $+C$ 를 붙인다.
• 정적분 $\int_a^b$: 결과에는 $C$ 가 안 나타난다.

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