[Calculus] [3-3] Summation versus Integration

0. Introduction

이번 섹션의 키워드는 두 개다.

1. 시그마(합):
   $$\sum_{k=1}^n a_k$$
2. 적분(연속 합):
   $$\int_a^b f(x),dx$$

아이디어는 아주 단순하다.

• 이산(discrete) 세계에서는
  $$1 + 2 + 3 + \cdots + n$$
  같은 “유한한 합”을 다룬다.
• 연속(continuous) 세계에서는
  $$\int_0^1 x^2,dx$$
  처럼 “무한히 잘게 나눠서 쭉 더하는 합(=면적)”을 다룬다.

비유적으로

• 시그마: “계단식으로 더하기”
• 적분: “부드러운 곡선 아래를 채우기”

이번 글에서는

• 시그마 $\sum$ 가 하는 일
• 어떻게 이산 합이 “적분”으로 넘어가는지
• 간단한 예제 ($x$, $x^2$, $x^p$)에서
  $$\sum \quad \leftrightarrow \quad \int$$
  관계를 보는 것
• 직사각형 근사 (left/right/midpoint rule)와
  “오차가 어떻게 줄어드는지”

까지 한 번에 정리해보자.

 

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1. 시그마: 이산 합의 세계

먼저 이산(discrete) 합부터 보자.

대표적인 예는

$$\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$$

이 합의 정확한 값은 잘 알려진 공식대로

$$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$$

비슷하게 제곱들의 합은

$$\sum_{k=1}^n k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

이런 식으로

• $$\sum_{k=1}^n 1 = n$$
• $$\sum_{k=1}^n k$$
• $$\sum_{k=1}^n k^2$$
• $$\sum_{k=1}^n k^3$$

등등의 공식을 모아놓은 표를 **“합 공식(summation formulas)”**라고 부른다.

이산 세계에서는 **“자연수 k에 대해 값을 주고 그걸 다 더한다”**는 게 기본 패턴이다:

$$\sum_{k=1}^n f(k)$$

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2. 적분: 연속 합의 세계

이제 연속 세계로 가보자.

연속 버전에서는 $k$ 대신 실수 $x$ 를 쓰고,
합 기호 $\sum$ 대신 적분 기호 $\int$ 를 쓴다.

$$\int_a^b f(x),dx$$

• 이건 $a$부터 $b$까지,
• $f(x)$ 값을 “무한히 많이, 아주 촘촘하게” 더한 결과
• 그림으로는 “곡선 아래 면적”

으로 이해할 수 있다.

 

• 이산: 막대(직사각형)들이 딱딱한 계단처럼 쌓여 있음
• 연속: 막대 폭을 $\Delta x \to 0$ 으로 줄이면,
  곡선 아래를 매끄럽게 채우는 면적 = 적분이 된다.

 

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3. 시그마 → 적분: 직선 $v(x) = x$ 예제

가장 단순한 예로 직선을 보자.

$$v(x) = x, \quad 0 \le x \le 4$$

그래프 아래 면적은 삼각형이니까, 바로 계산하면

$$\text{면적} = \frac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$$

이 값은 나중에 적분으로 쓰면

$$\int_0^4 x,dx = 8$$

이 될 것이다.
하지만, 지금은 시그마와의 연결이 목적이니까 “직사각형 합”으로 가보자.

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3.1 오른쪽 끝점 직사각형 (Right endpoint rule)

$[0,4]$ 구간을 $n$개로 일정하게 나누자.

• 각 구간의 폭:
  $$\Delta x = \frac{4}{n}$$
• 각 구간의 오른쪽 끝점:
  $$x_k = \frac{4k}{n} \quad (k=1,2,\dots,n)$$

이제 오른쪽 끝점에서의 높이 $v(x_k) = x_k$ 를 사용해 직사각형을 만든다.

• $k$번째 직사각형의 높이:
  $$v(x_k) = x_k = \frac{4k}{n}$$
• 넓이:
  $$\text{area}_k = v(x_k),\Delta x = \frac{4k}{n} \cdot \frac{4}{n} = \frac{16k}{n^2}$$

직사각형 $n$개의 넓이를 모두 더하면

$$
\text{총 넓이 근사} = \sum_{k=1}^n \frac{16k}{n^2}
= \frac{16}{n^2} \sum_{k=1}^n k
= \frac{16}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2}
= 8 \cdot \frac{n+1}{n}
$$

여기서

$$
\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}
$$

이므로

$$
\text{총 넓이 근사} = 8\left(1 + \frac{1}{n}\right)
$$

이제 $n \to \infty$ 로 보내면

$$
\lim_{n\to\infty} 8\left(1 + \frac{1}{n}\right)
= 8 \cdot 1 = 8
$$

즉, 직사각형 합의 극한이 바로 정확한 면적 8이 된다.

시그마 버전
$$\sum_{k=1}^n \frac{16k}{n^2}$$
의 극한이
적분 버전
$$\int_0^4 x,dx$$
에 해당한다.

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4. 일반적인 패턴: $\sum f(k) \leftrightarrow \int f(x)$

방금 본 예제는 사실 아주 일반적인 패턴의 특별한 경우다.

$[a,b]$ 를 $n$등분하고, 각 부분의 폭을

$$\Delta x = \frac{b-a}{n}$$

라고 하자. 각 구간에서 대표점(왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중점)을 $x_k^*$ 라고 하면, 리만 합(Riemann sum) 은

$$
\sum_{k=1}^n f(x_k^*),\Delta x
$$

이 된다.

이제 $n \to \infty$ 로 보내면,
이 합이 바로 적분

$$
\int_a^b f(x),dx
$$

가 된다.

요약하면

• 이산:
  $$\sum_{k=1}^n f(k)$$
• 연속:
  $$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k^*),\Delta x = \int_a^b f(x),dx$$

즉, “시그마의 연속 버전이 적분” 이라는 것.

 

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5. $x^2$ 예시: 합 공식 vs 적분

이번에는 $v(x) = x^2$ 를 가지고 비슷한 비교를 해보자.

5.1 이산 합

먼저 이산 버전:

$$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

이건 정확한 공식이다.

5.2 연속 적분

연속 버전은

$$\int_0^n x^2,dx$$

를 계산하면 된다.

멱함수 적분 공식을 쓰면

$$\int x^2,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

따라서

$$
\int_0^n x^2,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^n = \frac{n^3}{3}
$$

이제 두 결과를 나란히 보면:

• 이산 합:
  $$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• 연속 적분:
  $$\int_0^n x^2,dx = \frac{n^3}{3}$$

$n$ 이 매우 클 때, 이산 합을 근사해 보면

$$
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}
\approx \frac{2n^3}{6} = \frac{n^3}{3}
$$

즉, $n$이 클수록

$$\sum_{k=1}^n k^2 \approx \int_0^n x^2,dx$$

이 점점 더 정확해진다.

큰 $n$에서 “자연수 제곱들의 합”은
거의 “$x^2$ 의 적분 값”과 같다.

여기서 보이는 패턴이 중요하다:

• 이산 합은 정확한 값에 대한 정수 기반 공식
• 적분은 그에 대한 연속 근사 (그리고 보통 계산이 훨씬 쉽다)

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6. 왼쪽/오른쪽/중점: 오차의 차이

리만 합을 만들 때, 각 구간의 어떤 점을 택하느냐에 따라

• 왼쪽 끝점(left rule)
• 오른쪽 끝점(right rule)
• 중점(midpoint rule)

같은 여러 가지 근사법이 나온다.

대략적인 오차 스케일만 보면:

• 왼쪽/오른쪽 끝점 rule:
  $$\text{오차} \propto \frac{1}{n}$$
• 중점(midpoint) rule:
  $$\text{오차} \propto \frac{1}{n^2}$$

즉,

같은 직사각형 개수 $n$ 을 쓸 때,
중점 규칙이 훨씬 더 정확하다.

직관적으로는

• 왼쪽/오른쪽 끝점은 직사각형들이 한쪽으로 치우쳐서
  그래프 위나 아래로 과대/과소 추정하는 구간이 많고,
• 중점은 직사각형들이 그래프를 양쪽으로 균형 있게 가로지르기 때문에
  오차가 서로 어느 정도 상쇄된다.

이런 “오차와 $n$의 관계”도 시그마(유한합) 를 통해 실험할 수 있고,
극한에서 적분으로 연결되는 중요한 테마다.

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7. $x^p$ 일반화: 합 vs 적분의 패턴

마지막으로 $v(x) = x^p$ (일반 멱함수)를 생각해보자.

• 이산 합:
  $$\sum_{k=1}^n k^p$$
  에 대해서는 $p=1,2,3,\dots$ 에 대해
  점점 복잡한 공식들이 존재한다.
• 연속 적분:
  $$\int_0^n x^p,dx = \frac{n^{p+1}}{p+1}$$
  (단, $p \ne -1$)

$n$ 이 클수록,

$$\sum_{k=1}^n k^p \approx \int_0^n x^p,dx = \frac{n^{p+1}}{p+1}$$

이 근사는 점점 더 좋아진다.

즉,

“$k^p$ 의 이산 합”은
“$x^p$ 의 연속 적분”과 스케일이 거의 같다.

그래서 큰 규모 문제에서

• 복잡한 시그마를 적분으로 근사해서
• 대략적인 성장률이나 크기를 빠르게 파악하는 일이
  실제 공학/과학에서 매우 많이 쓰인다.

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