[Calculus] [3-4] Indefinite Integrals and Substitutions

 

0. Introduction

앞에서 우리는

• Antiderivative(부정적분) 개념을 잡았고 (5.2)
• 시그마 → 적분으로 가는 흐름을 봤다 (5.3)

이제 본격적으로 “적분을 푸는 기술”로 들어간다.
이번 파트의 키워드는 두 개다.

1. Indefinite integral (부정적분)
   • $\displaystyle \int f(x),dx$ 를 체계적으로 계산하는 법
   • 기본 공식들, 선형성, 분리해서 적분하기
2. Substitution (치환 적분)
   • “복잡해 보이는 적분을 변수 바꾸기로 단순하게 만드는 기술”
   • 미분의 Chain Rule 을 “거꾸로” 사용하는 것

이번 포스팅의 목표:

• 부정적분의 기본 성질 정리
• 치환 적분의 아이디어
• 간단–중간 난이도 예제들로 감 잡기
• 틀리기 쉬운 포인트( $dx$ 까지 같이 바꿔줘야 한다는 점 )

까지 한 번에 정리해보자.

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1. 부정적분의 기본 성질 (Indefinite Integral Rules)

먼저 부정적분의 기본 성질 몇 개부터 잡고 가자.

부정적분은 “antiderivative 전체 가족”을 말한다:

$$
\int f(x),dx = F(x) + C \quad\text{(단, }F'(x)=f(x)\text{)}
$$

여기서 중요한 건 선형성(linearity) 와 몇 가지 기본 공식이다.

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1.1 선형성 (Linearity)

상수 $a,b$ 에 대해,

$$
\int \big( a f(x) + b g(x) \big),dx
= a \int f(x),dx + b \int g(x),dx
$$

즉,

• 적분 안쪽에서 더하기는 밖으로 분리할 수 있고
• 상수배는 앞에 그냥 빼낼 수 있다.

예시:

$$
\int (3x^2 + 4x),dx
= 3\int x^2,dx + 4\int x,dx
= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4\cdot \frac{x^2}{2} + C
= x^3 + 2x^2 + C
$$

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1.2 기본 부정적분 공식들

이미 미분 공식을 알고 있으니, 다 거꾸로 쓰면 된다.

1. 멱함수 (단, $n\ne -1$)
2. $$
   \int x^n,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
   $$
3. 역수 함수
4. $$
   \int \frac{1}{x},dx = \ln|x| + C
   $$
5. 지수 함수$$
   \int a^x,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a>0, a\ne 1)
   $$
6. $$
   \int e^x,dx = e^x + C
   $$
7. 삼각함수$$
   \int \sin x,dx = -\cos x + C
   $$$$
   \int \frac{1}{1+x^2},dx = \arctan x + C
   $$
8. $$
   \int \sec^2 x,dx = \tan x + C
   $$
9. $$
   \int \cos x,dx = \sin x + C
   $$

이 정도가 “기본 도구 상자”라고 보면 된다.
문제는, 실제 적분들은 이 기본 꼴에 그대로 맞지 않는다는 것…

그래서 등장하는 게 바로 치환 적분이다.

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2. 치환 적분의 아이디어: Chain Rule 거꾸로

미분에서 Chain Rule (연쇄법칙) 을 기억해보자.

함수 합성 $y = f(g(x))$ 에 대해

$$
\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$

예를 들어,

$$
\frac{d}{dx} \sin(3x)
= \cos(3x)\cdot 3
$$

즉, “안쪽 함수 $3x$ 의 도함수”가 곱해져서 나온다.

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2.1 적분에서 Chain Rule 을 거꾸로

이제 이걸 적분 쪽에서 거꾸로 생각해보자.

우리가 만나는 많은 적분들이 사실 이런 꼴이다:

$$
\int f'(g(x)),g'(x),dx
$$

이걸 치환 적분으로 처리하면

1. $u = g(x)$ 라고 치환하고
2. $du = g'(x),dx$ 로 바꾸면
3. $\int f'(g(x)),g'(x),dx = \int f'(u),du = f(u) + C$

다시 $u = g(x)$ 를 대입해서

$$
\int f'(g(x)),g'(x),dx
= f(g(x)) + C
$$

를 얻는다.

요약하면

“겉은 뭔가 복잡한 합성함수인데, 그 옆에 안쪽 함수의 도함수 $g'(x)$ 가 곱해져 있으면
$u=g(x)$ 로 바꿔서 한 번에 정리할 수 있다.”

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3. 치환 적분의 표준 형태

실제 계산에서는 다음 순서를 쓰는 게 편하다.

1. 치환할 표현 $u$ 선택
   • 보통 괄호 안, 루트 안, 지수 안, 삼각함수 안에 있는 걸 후보로 본다.
   • 예: $u = 3x+1$, $u = x^2+1$, $u = \sin x$, $u = \sqrt{x}$ 등
2. $du$ 를 구한다여기서 $dx$ 까지 같이 포함해서 바꿔주는 게 포인트.
3. $$
   u = g(x) \quad\Rightarrow\quad du = g'(x),dx
   $$
4. 적분 전체를 $u$ 와 $du$ 로 다시 쓰기
   • $x$ 관련 표현을 모두 $u$ 로 표현
   • $dx$ 는 $du / g'(x)$ 로 치환
5. $u$ 에 대한 적분 수행
6. $$
   \int f(u),du
   $$
7. 마지막에 $u = g(x)$ 를 다시 대입해서 $x$ 의 함수로 되돌리기.

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4. 예제들

예제 1. $\displaystyle \int 2x\cos(x^2),dx$

겉으로 보면 복잡해 보이지만,
안쪽에 $x^2$, 바깥에 $2x$ 가 함께 있다는 점을 눈여겨보자.

1. 치환 선택
   $$
   u = x^2
   $$
2. $du$ 계산여기서 적분 안에 있는 $2x,dx$ 와 정확히 일치한다.
3. $$
   du = 2x,dx
   $$
4. 치환$$
   \int 2x\cos(x^2),dx
   $$$$
   \int \cos(u),du
   $$
5. 에서 $x^2$ 를 $u$ 로, $2x,dx$ 를 $du$ 로 바꾸면
6. 원래 적분:
7. 적분 계산
8. $$
   \int \cos(u),du = \sin(u) + C
   $$
9. 다시 $u = x^2$ 대입
10. $$
    \sin(u) + C = \sin(x^2) + C
    $$

결론

$$
\int 2x\cos(x^2),dx = \sin(x^2) + C
$$

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예제 2. $\displaystyle \int \frac{1}{1+x^2},2x,dx$

이번에는 분수 꼴이다.

1. 치환 선택$$
   u = 1 + x^2
   $$
2. 분모에 $1 + x^2$ 이 있으니
3. $du$ 계산적분 안에 바로 $2x,dx$ 가 보인다.
4. $$
   du = 2x,dx
   $$
5. 치환$$
   \int \frac{1}{1+x^2},2x,dx
   $$$$
   \int \frac{1}{u},du
   $$
6. 로 바꾼다.
7. 을
8. 원래 적분:
9. 적분 계산
10. $$
    \int \frac{1}{u},du = \ln|u| + C
    $$
11. $u = 1 + x^2$ 대입
12. $$
    \ln|1+x^2| + C
    $$

결론

$$
\int \frac{2x}{1+x^2},dx = \ln(1+x^2) + C
$$

(여기서는 $1+x^2 > 0$ 이라 절대값을 생략해도 된다.)

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예제 3. $\displaystyle \int x\sqrt{x^2+1},dx$

이번에는 루트 안쪽에 $x^2+1$ 이 보인다.

1. 치환 선택
2. $$
   u = x^2 + 1
   $$
3. $du$ 계산
4. $$
   du = 2x,dx
   \quad\Rightarrow\quad
   x,dx = \frac{1}{2}du
   $$
5. 치환$$
   \int x\sqrt{x^2+1},dx
   $$$$
   \int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2},du
   = \frac{1}{2}\int u^{1/2},du
   $$
6. 에서 $x^2+1$ 을 $u$, $x,dx$ 를 $\frac12 du$ 로 바꾸면
7. 원래 적분:
8. 적분 계산
9. $$
   \frac{1}{2}\int u^{1/2},du
   = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C
   = \frac{1}{3}u^{3/2} + C
   $$
10. $u = x^2+1$ 대입
11. $$
    \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C
    $$

결론

$$
\int x\sqrt{x^2+1},dx
= \frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2} + C
$$

[[picture : y = √(x^2+1) 곡선과, x√(x^2+1) 적분이 어떤 3/2 승 꼴로 정리됨을 간단하게 표현한 그림]]

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5. 치환에서 자주 하는 실수들

치환 적분에서 가장 많이 하는 실수는 딱 두 가지다.

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(1) $u$ 만 바꾸고 $dx$ 를 안 바꾸는 경우

예를 들어,

$$
\int 2x\cos(x^2),dx
$$

에서

• “$u=x^2$ 이니까 $\cos(x^2) = \cos u$ 로 바꾸고… 끝!”
• 이렇게 하면 $dx$ 가 여전히 남는다.

반드시

$$
u = x^2 \Rightarrow du = 2x,dx
$$

까지 쓴 다음에, $dx$ 까지 포함된 표현을 모두 $du$ 로 바꿔야 한다.

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(2) 치환을 하고도 $x$ 가 남아 있는 경우

예를 들어,

$$
\int x\sin(x^2),dx
$$

에서

• $u = x^2$ 로 치환까지 잘 했는데,
• $x = \sqrt{u}$ 같은 이상한 걸 도입해서 더 복잡하게 만드는 경우.

여기서는

$$
u = x^2, \quad du = 2x,dx \Rightarrow x,dx = \frac12 du
$$

처럼 적분 안에 등장하는 조합($x,dx$)을 직접 $du$ 로 바꾸는 게 핵심이다.
괜히 $x$ 를 $u$ 로 다시 풀어서 적분을 망치지 말자.

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6. 정적분에서 치환 (미리 살짝 맛보기)

정적분에서도 치환은 똑같이 쓸 수 있다.
다만 “구간”도 같이 바꿔야 한다.

예를 들어,

$$
\int_0^1 2x\cos(x^2),dx
$$

에서 $u = x^2$ 로 치환하면

• $x=0 \Rightarrow u = 0^2 = 0$
• $x=1 \Rightarrow u = 1^2 = 1$

따라서

$$
\int_0^1 2x\cos(x^2),dx
= \int_0^1 \cos(u),du
= \sin(u)\Big|_0^1
= \sin 1 - \sin 0
= \sin 1
$$

정적분 치환은 나중에 5.5~5.7에서 더 체계적으로 다루게 될 거고,
지금은 “구간도 같이 바꾼다”는 감만 잡으면 된다.

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