1. Introduction1.1. Theorem [1] : moment 관련 Theorem- R.V. X와 양의 정수 m이 있다고 가정하자.- E[X^m]이 있다고 가정할 때, m보다 작은 양의 정수 k에 대해서, E[X^k]는 존재한다는 정리이다.- 증명을 하는데, 사용되는 아이디어는 x가 1보다 작으면 계속 거듭제곱을 하면 작아지기에,- 그냥 1을 곱해주는 것보다 작다라는 아이디어를 사용하게 된다. 1.2. Theorem [2] : Markov's Inequality- 증명은 되게 간단하게 가능하다.- 여기서 두개의 범위로 쪼개지게 되는데 여기서 둘다 양수임이 자명하니 다음과 같은 조건이 만족한다.- 여기서 A는 u(x) >= c는 u(x)를 c라고 바꿔도 부등식은 만족한다. - 다음과 같은 증명을..
1. Introduction1.1. Difinition [1] : mean- 일반적으로 우리가 평균이라고 불리는 Mu는 다음과 같이 정의된다. 1.2. Difinition [2] : Variance- 우리가 알고 있는 분산은 다음과 같이 정의된다. - 해당 완전제곱식을 전개하여 Linearity of Expectation을 이용하여 다음과 같이 분산을 구할 수 있다. 1.3. Theorem [1] : Var(ax+b) = a^2Var(x)- 증명은 다음과 같이 쉽게 가능하다. 1.4. Difinition [3] : Moment- 수학에서의 Moment는 다음과 같이 정의된다.- 이를 통계학에서 Continuous R.V. Expectation을 통해 나타내면 다음과 같이 표현 가능하다.(c = 0)- E..
1. Introduction1.1. Definition [1] : Expectation- R.V. X가 이산형인지, 연속형인지에 따라 Expectation을 계산하는 방식이 달라지게 된다.- 먼저 Discrete R.V. 일 경우 다음과 같이 정의된다.- 그리고, Continuous R.V.일 경우 다음과 같이 정의된다. - 일반적인 Averge와 다른점은, Averge는 산술평균을 의미하고,- Expectation은 가중평균을 의미한다고 생각하면 편하다. 1.2. Theorem [1] : E[g(X)] = ?- Y = g(X)라고 한다면, 다음과 같이 식이 만족한다. - 정말 간단하게, E[?] 에서 x자리에 그대로 ?가 들어간다고 생각하면 편하다.- 증명은 다음과 같이 가능하다. 1.3. Theore..
1. Introduction1.1. Definition [1] : Continuous Random Variables- Random Variable을 나타내는 함수를 X라고 한다면, range of X는 다음과 같다.- 이 때 D가 Countable Set이냐 Interval of real Numbers이냐에 따라 X의 명칭이 달라지게 된다.- 만약 D가 Interval of real numbers라면 X를 Continuous R.V.(연속형 확률변수)라고 정의한다. - R.V. X의 cdf가 모든 x에 대해 연속함수라면, Continuous Random Variable이라고 한다.- cdf가 연속이기 때문에, 해당 값은 0에 수렴하게 된다.- 즉, 한점에서의 질량은 없다라는 것을 뜻하기도 한다.- P(X..
