수리통계학

1. Introduction1.1. Derivation- gamma function에 1/2를 넣은 값을 토대로 pdf을 유도해볼까 한다. - polar coordinate tansformation을 통해 적분을 풀어가보자.- x = r cos(theta) , y = r sin(theta)라고 하자 - 따라서, Gamma(1/2) = sqrt(pi)가 된다. 1.2. pdf- 이제 Normal Distribution의 pdf을 유도해보자.- I = sqrt(2pi)라는 걸 이용하여 보일 것이다. - 여기서 인테그랄 안에 있는 식을 우리는 pdf of N(mu,sigma^2)이라고 한다. - 평균이 0이고 분산이 1이 될 때 standard normal distribution을 따른다고 말한다. 1.3. ..

1. Gamma Distributions1.1. Gamma Function- Gamma Distribution에 대해서 알아보기 전에, Gamma Function에 대해서 알고가보자.- gamma function은 다음과 같다.(유도가 되는 함수가 아니라, 그냥 정의가 된 함수니 그러려니 하고 넘어가자) - 이 gamma function의 성질은 다음과 같다.i) alpha가 1보다 클 때, 다음을 만족한다.- 해당 성질에 의해서 alpha가 자연수일 때 다음 성질을 가진다. 1.2. pdf of gamma- R.V. X가 Gamma distribution에 속하는데, 모수가 alpha와 beta가 있다고 하자.- X의 pdf는 다음과 같다.- pdf의 motivation을 함께 알아보자.- 양변을 ga..

1. Introduction- Poisson Distribution은 단위 시간 내에 특정 사건이 발생하는 횟수를 모델링하는 확률 분포이다.- 애는 사건 발생이 독립적이며, 단위 시간당 평균 발생 횟수가 일정할 때 적절히 적용된다.- 일반적으로 "Rare Event"의 확률 분포라고도 한다.- 예시는 다음과 같다."""i) 책에서 오타를 발견할 확률ii) 은향에서 1시간당 평균적으로 5명의 고객이 방문한다고 가정하자.--> 이때, 어떤 한 시간 동안 정확히 3명의 고객이 방문할 확률 """ - pmf를 먼저 알아보기 전에, motivation을 먼저 알고가보자.- g(m) = e^m 이라고 해보자. 그리고, m = 0 부근에서 테일러전개를 해주자.- 양변에 e^m을 나눠주면 다음과 같다.- 여기서, 시그..

1. Introduction1.1. Difinition [1] : Bernoulli Distribution- Bernoulli Experiment는 실험 결과가 두 가지 상호 배타적이고 포괄적인 방식으로 분류될 수 있는 확률 실험을 의미한다.- 예를 들어, 성공 or 실패(생존 또는 사망, 불량 또는 정상)과 같은 경우가 있다. - 베르누이 시행이 여러 번 독립적으로 수행되면서 성공할 확률 p가 일정하게 유지되는 경우, 이를 "Bernoulli Trials"라고 한다.- 이러한 실험에서 각 시행의 성공 확률을 p라고 정의한다. - R.V. X가 베르누이 시행과 연관되어 있을 때, X를 다음과 같이 정의한다.- X(성공) = 1 , X(실패) = 0- 즉, 성공과 실패라는 두 가지 결과를 각각 1과 0으로..