수리통계학

1. Introduction- [2.8] 에서 example에서 sample variance를 N-1로 나눠주는 이유에 대해서 나온다.- 이건 되게 중요한 내용이니, 따로 정리하고자 하였다.- 우선, sample variance를 구할 때 n-1로 나눠주는 이유는 unbiased estimator를 만들기 위해서라고 보면된다.- 이를 엄밀히 증명해보자. 2. Difinition of Sample Variance- 우선 모집단 분산은 다음과 같이 정의된다.- 우리는 모집단을 직접 관측할 수 업시 때문에, 크기가 n인 표본을 이용해 분산을 추정하게 된다.- 표본 평균은 다음과 같다.- 이를 이용해 우리가 기존에 알고 있던, 분산을 정의하면 다음과 같을 것이다.- 해당 식이 모집단 분산을 과소 추정하는지 확인..

1. Introduction- Random Vector (X1,...,Xn)'가 주어져있다고 가정하자.- 여기서 이러한 변수들의 linear combination이 다음과 같이 주어져 있다고 가정해보자.- T의 평균과 분산을 한번구해보자. 1.1. Theorem [1] : Expectation- 평균은 linearity of Expectation을 이용하여 구할 수 있다. 1.2. Theorem [2] : Covaraince- T뿐만 아니라 W가 다음과 같이 주어져 있다고 생각해보자. - Cov(T,W)는 다음과 같이 계산된다. - 증명과정은 다음과 같다. 1.3. Var(T)- Var(T)를 위를 이용하여 구할 수 있다.- Xi와 Xj가 independent하다면, COV(Xi,Xj) = 0이므로, 다..

1. Introduction- pdf을 구하기 위해 cdf를 미분하는 형태를 사용할 순 있지만, 변수가 너무 많아 사용하기 힘들다.- 그래서, Transformation teq을 주로 사용한다. - n개의 R.V. X1,...,Xn을 n개의 R.V. Y1,...,Yn으로 만드는 transformation을 생각해보자.1.1. one-to-one transformation case 1.2. many-to-one transformation case

1. Introduction1.1. Definition [1] : Random Vector- n개의 R.V.로 구성된 column vector를  다음과 같이 정의해보자.X = (X1,...,Xn)^T : n-dim random vector라고 불림. - 이걸 joint cdf로 나타내면 다음과 같이 표현 가능하다. - 여기서 pdf를 구하고 싶으면 다음과 같이 편미분을 취해주면 된다. - Y = u(x1,...,xn)라고 할때, E(Y)는 다음과 같다. - marginal distribution도 다음과 같이 표현가능하다. - conditional pdf는 다음과 같다. 1.2. Definition [2] : iid(independent identically distribution)- 간단히, 각각의 ..