[Calculus] [7-3] Alternating Series

0. Introduction

이번 섹션에서는 교대급수(alternating series)—즉 항들의 부호가 + 와 – 로 규칙적으로 번갈아 나타나는 급수—가 언제 수렴하는지, 그리고 왜 수렴하는지를 다룬다.
Strang은 특히 “절댓값은 줄어들면서 부호는 번갈아 나타나는” 급수가 어떻게 안정적으로 하나의 값에 모여드는지를 직관적으로 설명한다.

대표적인 예가 다음과 같은 급수다:

$$ 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots $$

이 급수는 $\ln 2$ 로 수렴한다.
왜 이런 일이 일어나는지, 그리고 어떤 조건들이 필요하고 충분한지 살펴보자.

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1. Alternating Series Test (교대급수 판정법)

Strang의 핵심 정리(10H)는 다음과 같다:

정리 (10H). 교대급수 판정법

교대급수

$$ a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots $$

가 다음 두 조건을 만족하면 반드시 수렴한다:

1. 항의 크기가 감소한다:
   $$ a_{n+1} \le a_n $$
2. 항이 0으로 가까워진다:
   $$ a_n \to 0 $$

이 두 조건을 만족하면 조건부 수렴(conditionally convergent) 이다.
(절댓값을 취한 $\sum |a_n|$ 이 수렴한다는 의미는 아니다!)

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2. 왜 수렴하는가 — 부분합의 거동

Strang의 설명을 따라가 보자.
부분합을 다음과 같이 분리한다:

• 홀수 번째까지의 부분합:
  $$ s_1,\ s_3,\ s_5,\ \ldots $$
• 짝수 번째까지의 부분합:
  $$ s_2,\ s_4,\ s_6,\ \ldots $$

그러면 다음이 성립한다:

● 홀수 번째 부분합은 감소한다.

예:
$s_3 = a_1 - a_2 + a_3$ 는 $s_1 = a_1$ 보다 작다.
$s_5$ 는 $s_3$ 보다 작다.
따라서
$$ s_1 > s_3 > s_5 > \cdots $$
➡ 하나의 아래쪽 경계가 있으므로 아래로 수렴.

● 짝수 번째 부분합은 증가한다.

$s_2 = a_1 - a_2$
$s_4 = s_2 + (a_3 - a_4)$ 이고, 여기서 $(a_3 - a_4) > 0$.
따라서
$$ s_2 < s_4 < s_6 < \cdots $$
➡ 하나의 위쪽 경계가 있으므로 위로 수렴.

● 두 부분합이 같은 극한으로 수렴한다.

홀수/짝수 부분합의 차이는 단 하나의 항 $a_n$ 이며 이는 $0$ 으로 간다.
즉, 두 부분합은 같은 극한 $s$ 에 모인다.

▶ 직관

홀수 부분합은 ‘높은 곳에서 내려오고’, 짝수 부분합은 ‘낮은 곳에서 올라오며’,
서로 점점 가까워지다가 결국 같은 값에서 만난다.

 

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3. 절대수렴 vs 조건부수렴

Strang은 중요한 예를 제공한다:

예시: 조건부 수렴

$$ 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots $$

• 절댓값: $4\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots\right)$ 은 발산
• 그러나 교대이므로 감소 + 0으로 향함 → 조건부 수렴

예시: 수렴하지 않는 교대급수

$$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$$

부분합은
$1,\ 0,\ 1,\ 0,\ \ldots$
서로 다른 값을 반복 → 수렴하지 않음
(조건 2: $a_n \to 0$ 위배)

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4. “부호만 바꾸면 아무 값으로도 수렴 가능” — 재배열 위험성

Strang은 중요한 사실을 언급한다:
조건부 수렴하는 급수는 항의 순서를 재배열하면 어떤 값에도 수렴할 수 있다.

예로 $\ln 2$ 로 수렴하는 교대 조화급수
$$1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$$
를 재배열하면 1000 같은 아무 값으로도 만들 수 있다.

 

➡ 따라서 교대급수의 재배열은 위험하며 절대수렴이 아닐 때는 주의해야 한다.

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