[Calculus] [7-2] Convergence Tests: Positive Series

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0. Introduction

이번 섹션에서는 **양의 항으로 이루어진 무한급수(positive series)**가
수렴(converge)하는지, 발산(diverge)하는지를 판단하기 위한 핵심 테스트들을 소개한다.

미적분학에서 도함수, 적분에 “정의가 필요했던 것처럼”,
무한급수도 정확한 합(sum)이 존재하는지를 따지는 엄밀한 정의가 필요하다.
특히 양의 항들로 구성된 급수는 부호 변화가 없기 때문에
“적분 비교”, “비율 테스트” 같은 기법이 강력하게 작동한다.

이 섹션의 핵심 메시지는 다음과 같다:

무한급수의 합은 ‘극한’ 개념 위에서 정의된다.
개별 항이 0으로 간다는 것만으로는 수렴을 보장할 수 없다.

대표적인 반례가 바로 조화급수:

$$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots$$

이 급수의 항들은 분명 $1/n \to 0$ 이지만, 전체 합은 무한대로 발산한다.

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1. 양의 항 급수의 기본 개념

● 양의 항 급수(Positive Term Series)

모든 항이 양수인 급수:

$$a_1 + a_2 + a_3 + \cdots,\quad a_n > 0$$

항이 양수이므로 부분합 $S_n = a_1 + \cdots + a_n$ 은 증가하는 수열이며,
따라서 수렴 여부는 단 하나만 보면 된다:

부분합 $S_n$이 어떤 유한한 값에 가까워지는지.

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2. 대표적 예시를 통해 보는 수렴/발산

1) 기하급수(Geometric Series)

Strang은 10.1에서 다룬 기하급수를 다시 언급하면서 비교 기준으로 삼는다:

$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x} \quad (|x| < 1)$$

$|x| < 1$일 때 수렴하고, $|x| \ge 1$일 때 발산한다.

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2) 발산의 대표 예: 조화급수

$$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots$$

pdf에서는 다음처럼 정리되어 있다:

“The series $1 + \frac12 + \frac13 + \cdots$ diverges to infinity.”

항은 $1/n \to 0$ 이지만 합은 무한히 커진다.

즉,

항이 0으로 간다는 사실만으로는 절대 수렴을 보장할 수 없다!

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3) 교대하지 않는 양의 급수의 또 다른 예

$1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots$ 는 1로 수렴한다.
이것 역시 기하급수이기 때문에 매우 빠르게 수렴한다.

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3. 양의 항 급수를 판단하는 핵심 테스트들

Strang은 10.2에서 엄밀한 수렴 정의를 강조하면서,
실제로 계산할 때에는 비교 테스트가 가장 실용적이라고 설명한다.

● (1) 비교 테스트 (Comparison Test)

“Most tests are really comparisons with a geometric series.”

핵심 아이디어:
알고 있는 급수(기하급수, $1/n^p$ 등)와 비교하여 크기를 판단하는 방식.

예

만약
$$a_n \le \frac{1}{2^n}$$
이면, $\sum 1/2^n$ 이 수렴하므로 $\sum a_n$ 도 수렴한다.

반대로
$$a_n \ge \frac{1}{n}$$
이면, 조화급수와 비교하여 발산을 알 수 있다.

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● (2) 비율 테스트 (Ratio Test)

양의 항에서 자주 쓰인다:

$$L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$$

• $L < 1$ → 수렴
• $L > 1$ → 발산
• $L = 1$ → 판별 불가

기하급수가 기준 케이스이기 때문에 비율 테스트는 강력하다.

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● (3) 적분 테스트 (Integral Test)

양수·감소·연속인 함수 $f(x)$에 대해
$a_n = f(n)$ 이라면 다음이 성립한다:

$$\sum_{n=1}^\infty a_n \text{ 수렴 여부 } \iff \int_1^\infty f(x),dx \text{ 수렴 여부}$$

조화급수의 발산은 다음 적분과 연결된다:

$$\int_1^\infty \frac{dx}{x} = \infty$$

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● (4) $p$-급수

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$$

• $p > 1$ → 수렴
• $p \le 1$ → 발산

양의 항 급수를 판단할 때 기본 비교 대상이 된다.

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4. 예제와 직관

● 예제 1: 빠르게 줄어드는 급수

$$\sum \frac{1}{3^n}$$

비율 테스트:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/3^{n+1}}{1/3^n} = \frac13 < 1$$

→ 따라서 수렴.

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● 예제 2: 느리게 줄어드는 급수

$$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$$

이는 $p = 1/2 < 1$ 이므로 발산.

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● 예제 3: 경계 사례

$$\sum \frac{1}{n(\ln n)}$$

비율 테스트는 실패하지만,
적분 테스트로 다음을 검사할 수 있다:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \ln(\ln x)\bigg|_2^\infty = \infty$$

→ 발산.