[Calculus] [7-1]The Geometric Series

 

0. Introduction

이번 섹션에서는 무한급수(infinite series) 중 가장 중요한 형태인
기하급수(geometric series)

$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$

가 언제 수렴하는지, 무엇에 수렴하는지, 그리고 왜 이것이 수학 전체에서 핵심적인 역할을 하는지를 본격적으로 다룬다.

Strang 교수는 이 장을 “무한급수의 세계로 들어가는 첫 문”이라고 표현할 정도로 중요하게 다룬다.
지수함수, 삼각함수, 로그함수 같은 주요 함수들의 급수 표현도 모두 여기에서 출발한다.

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1. 기하급수의 기본 공식

기하급수는 아래와 같은 놀라운 공식으로 표현된다:

$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1 - x}$$

단, 수렴 조건은:

$$|x| < 1$$

이 조건이 없으면 좌변의 항들이 0으로 가지 않기 때문에 무한 합도 존재할 수 없다.

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2. 부분합을 통한 증명

기하급수가 왜
$$\frac{1}{1-x}$$
에 수렴하는지 직접 계산해보자.

$n$번째 부분합은:

$$s_n = 1 + x + x^2 + \cdots + x^{n-1}$$

이를 단순히 정리하면:

$$s_n = \frac{1 - x^n}{1 - x}$$

 

$x$가 $|x|<1$이면

$$x^n \to 0$$

따라서

$$\lim_{n\to\infty} s_n = \frac{1}{1-x}$$

이렇게 기하급수 공식이 증명된다.

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3. 함수에서 급수로 접근하기 (Taylor 관점)

Strang은 또 다른 관점을 제시한다:

3.1 (f(x)=\frac{1}{1-x}) 의 도함수들

$$f(x)=\frac{1}{1-x}$$

미분하면:

$$f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}, \quad f''(x)=\frac{2}{(1-x)^3}, \quad f^{(3)}(x)=\frac{6}{(1-x)^4}$$

$x=0$에서의 도함수 값은:

$$f(0)=1,; f'(0)=1,; f''(0)=2,; f^{(3)}(0)=6,;\dots$$

즉,

$$f^{(n)}(0) = n!$$

3.2 Taylor series 구성

Taylor 전개는:

$$
f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
= \sum_{n=0}^\infty x^n
$$

즉, 자연스럽게
$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$$
가 등장한다.

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4. 기하급수를 활용한 다양한 응용

Strang은 기하급수를 가지고 놀라운 연산들을 보여준다. 몇 가지 핵심 예시만 정리하자.

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4.1 도함수 적용

기하급수를 미분하면:

$$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \cdots = \frac{1}{(1-x)^2}$$

 

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4.2 적분 적용

적분하면 로그가 등장한다:

$$x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots
= -\ln(1-x)$$

이 전개를 이용하면 유명한 급수들도 등장한다.

예를 들어 $x=1$을 대입하면:

$$1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots = \infty$$

— 조화급수(harmonic series) 발산

$x=-1$을 대입하면:

$$1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \ln 2$$

— 교대 조화급수(alternating harmonic series)의 수렴

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4.3 치환 (x → x², -x²)

$x^2$ 대입:

$$1 + x^2 + x^4 + x^6 + \cdots = \frac{1}{1 - x^2}$$

$-x^2$ 대입:

$$1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots = \frac{1}{1 + x^2}$$

→ 이것을 적분하면 유명한 공식 등장:

$$\arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

특히 $x=1$에서:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots$$

 

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5. (재미있는) 역사적 이야기

Strang은 π 계산 역사도 소개한다.

• Leibniz 급수는 너무 느리다. (5000항을 더해야 소수점 4자리!)
• Halley는 x=1/√3을 이용해 빠르게 π/6 계산
• Shanks는 엄청난 수작업 계산 끝에 π의 707자리 중 527자리만 맞음
• 현대는 Gauss의 AGM(algebraic-geometric mean) 알고리즘이 기반
• 컴퓨터가 등장한 뒤 수십억 자리까지 계산 가능해짐

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6. 요약

● 기하급수의 핵심 공식

$$1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x} \qquad (|x|<1)$$

● 중요 포인트

• 무한급수는 부분합의 수렴으로 정의된다.
• |x|<1이면 수렴, |x|≥1이면 발산한다.
• 도함수·적분·치환을 해도 새로운 급수가 얻어짐.
• 로그, 아크탄젠트, π 같은 중요한 값들이 모두 기하급수에서 파생됨.
• 모든 무한급수의 기초이자, 테일러 급수의 출발점.

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