[Calculus] [6-2] Polar Equations and Graphs

0. Introduction

이번 섹션에서는 극좌표(polar coordinates) 를 이용해 면적을 계산하는 방법을 다룹니다.
직사각형 좌표 $(x, y)$ 대신 반지름 $r$과 각도 $\theta$를 사용하는 이유는, 대칭적인 곡선이나 원형 경계가 등장하는 문제에서 계산이 훨씬 단순해지기 때문입니다.

특히 면적을 구할 때, 극좌표에서 가장 중요한 공식은 다음입니다:

$$ \text{Area} = \frac12 \int r^2, d\theta $$

이 공식을 이해하고 실제 문제에 적용하는 것이 이 섹션의 핵심입니다.

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1. 극좌표의 기본 개념

극좌표에서는 한 점을 다음과 같이 표현합니다:

• $r$ : 원점으로부터의 거리
• $\theta$ : 양의 $x$축으로부터의 각도

직교좌표와의 전환 공식은 다음과 같습니다:

$$ x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta $$

또한 좌표면적 요소가
$$ dA = r,dr,d\theta $$
로 표현된다는 것이 중요합니다.

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2. 극좌표 면적 공식의 유도

작은 각도 변화 $d\theta$가 있을 때, 원점에서 반지름 $r(\theta)$를 갖는 곡선 아래 작은 영역은 원뿔 모양의 조각(sector) 으로 볼 수 있습니다.

부채꼴의 넓이 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{Area of sector} = \frac12 r^2, d\theta $$

따라서 전체 면적은

$$ A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} r(\theta)^2, d\theta $$

이 공식은 직관적으로도 이해하기 쉽고, 원형 대칭을 가진 곡선의 면적을 구할 때 매우 강력합니다.

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3. 예제와 해설

예제 1 — 원의 면적

반지름이 3인 원:
$$ r = 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi $$

면적:

$$
A = \frac12 \int_0^{2\pi} 3^2, d\theta
= \frac12 \cdot 9 \cdot 2\pi
= 9\pi
$$

(기존 원의 면적 $\pi r^2$과 동일)

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예제 2 — 리미트 문제 (단위 정사각형의 일부를 극좌표로 표현)

문제에서는 단위 정사각형 $0 \le x \le 1,; 0 \le y \le 1$의 오른쪽 변을
$$ r = \sec\theta $$
로 표현하고, 특정 영역의 면적을 극좌표로 구하는 방식이 소개됩니다.

직교좌표에서 단순한 영역도 극좌표로 바뀌면 경계가 이렇게 변하는 것을 보여주는 좋은 예입니다.

 

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예제 3 — 타원의 면적과 극좌표 비교

타원 매개변수식
$$ x = 4\cos\theta,\quad y = 3\sin\theta $$

이때
$$ r^2 = x^2 + y^2 = 16\cos^2\theta + 9\sin^2\theta $$

타원 면적을 극좌표로 계산하면:

$$
A = \frac12 \int_0^{2\pi} \left(16\cos^2\theta + 9\sin^2\theta\right) d\theta
= 12\pi
$$

이는 잘 알려진 타원 면적 $\pi ab = \pi (4)(3) = 12\pi$와 일치합니다.

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4. 핵심 정리 요약

• 극좌표 전환:
  $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$
• 면적 요소:
  $$ dA = r,dr,d\theta $$
• 곡선 $r = f(\theta)$로 둘러싸인 면적 공식:
  $$ A = \tfrac12 \int r^2, d\theta $$
• 타원 등 원형 대칭 곡선에서 극좌표는 특히 유리함.

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5. 마무리

이 섹션의 목표는 극좌표를 사용하여 복잡한 면적 계산을 단순화하는 기법을 익히는 것입니다.
직교좌표에서는 어려웠던 적분도 극좌표로 바꾸면 놀라울 정도로 간단해지는 경우가 많습니다.

 

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