[Calculus] [1-1] 변화율과 미분의 정의

 

0. Introduction

• 미적분학에서 '변화율'이라는 개념은 거의 모든 응용에서 핵심적이다.
• 특히 함수가 입력이 바뀔 때 출력이 얼마나 바뀌는지를 “순간적으로” 보는 것이 미분이다.
• 이번 챕터에서는 변화율 개념부터 미분의 정의까지 직관과 수식을 모두 다룬다.

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1. 평균변화율 vs 순간변화율

평균 변화율

함수 $f$가 $t$에서 $t + \Delta t$로 변할 때 평균 변화율은 다음과 같다

 

$$ \frac{\Delta f}{\Delta t}\frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t} $$

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순간 변화율 (미분의 정의)

 

$$f'(t)\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t}$$

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왜 $\Delta t \to 0$ 일까?

• 실제 변화량이 아주 작아질 때 출력의 즉각적인 변화를 보기 위함이다.
• 기하학적으로는 곡선 위 한 점의 접선 기울기를 의미한다.

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2. 미분의 정의

일반적인 미분의 정의는 다음과 같다:

 

$$f'(x)\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

표기법은 다음과 같다:

• Lagrange 표기: $f'(x)$
• Leibniz 표기: $\frac{dy}{dx}$

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3. 예시 — $f(t)=t^2$

미분의 정의를 그대로 적용해보면:

$$f'(t)\lim_{\Delta t \to 0}\frac{(t+\Delta t)^2 - t^2}{\Delta t}$$

식 전개:

$$\lim_{\Delta t \to 0}\frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 - t^2}{\Delta t}$$

정리하면:

$$\lim_{\Delta t \to 0}(2t + \Delta t)$$

따라서 결과는,

$$f'(t) = 2t$$

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4. 접선(Tangent Line)의 기하학적 의미

특정 점 $x = a$에서의 접선 방정식은 다음과 같다:

$$y - f(a)f'(a)(x - a)$$

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예시

$f(x)=x^3 - 2$, $a=2$일 때

$$f(2)=6,\qquad f'(2)=12$$

따라서 접선은 다음과 같다:

$$y - 6 = 12(x - 2)$$