[Calculus] [1-2] Powers and Polynomials derivative

 

 

0. 이 파트의 목표

• 목표 1:
  $f(x) = x^3, x^4, x^5$ (더 나아가 일반적인 $f(x)=x^n$) 의 도함수를 정의 그대로 계산해서
  $$
  \frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}
  $$
  이라는 멱함수 미분 공식(거듭제곱 법칙, power rule) 을 얻는 것.
• 목표 2:
  계산만 하는 게 아니라, 이런 미분 공식이 경제학, 생물학 등의 응용에서 어떻게 쓰이는지 맛을 보는 것. (pdf에선 예시 정도만 보여준다.)

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1. $x^3$의 도함수 직접 계산

먼저 가장 단순한 예로 $f(x) = x^3$ 에 대해, 정의에서 출발해 도함수를 구해보자.

미분의 정의는

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

였다. 여기에 $f(x)=x^3$ 를 대입하면,

1. 먼저 $f(x+h)$ 를 계산한다.

$$f(x+h) = (x+h)^3$$

1. 차이를 구한다.

$$f(x+h)-f(x) = (x+h)^3 - x^3$$

1. $(x+h)^3$ 를 전개하면 (이 부분이 핵심)

$$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2 h + 3x h^2 + h^3$$

따라서

$$f(x+h)-f(x)=x^3 + 3x^2 h + 3x h^2 + h^3 - x^33x^2 h + 3x h^2 + h^3$$

1. 이제 평균 변화율을 만든 뒤, 극한을 취한다.

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3x^2 h + 3x h^2 + h^3}{h}3x^2 + 3x h + h^2$$

이제 $h \to 0$ 으로 보내면

$$f'(x)\lim_{h\to 0}(3x^2 + 3x h + h^2)3x^2$$

• 따라서 $f(x)=x^3$ 의 도함수는

$$\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$$

이 과정을 조금만 일반화하면 $x^4, x^5, \dots$ 도 같은 패턴으로 나온다.

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2. 일반적인 $x^n$의 도함수 — 이항전개와 핵심 항

이제 $f(x) = x^n$ (처음에는 $n$이 양의 정수) 에 대해 같은 일을 해보자.

정의는 똑같다.

$$f'(x) =\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$

여기서 핵심은 $(x+h)^n$ 을 전개하는 것인데, 이때 이항정리(binomial formula) 가 등장한다.

이항정리에 의하면

$$(x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + \cdots + h^n$$

처럼, 여러 항이 생긴다. 그중에서 진짜 중요한 항은 $n x^{n-1} h$ 이다.

왜냐하면

• $x^n$ 은 나중에 $-x^n$ 과 상쇄되어 사라지고,
• $h^2, h^3, \dots$ 와 같이 $h$ 의 2제곱 이상이 붙은 항들은
  $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 에서 한 번 $h$로 나누고,
  $h \to 0$ 극한을 취하면 0으로 사라지기 때문이다.

조금 더 형식적으로 써보면,

$$(x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + (\text{$h^2$ 이상의 항들})$$

따라서

$$\frac{(x+h)^n - x^n}{h}=\frac{n x^{n-1} h + (\text{$h^2$ 이상의 항들})}{h}n x^{n-1} + (\text{$h$ 이상의 항들})$$

이제 $h \to 0$ 으로 보내면, 뒤에 있는 “$h$ 이상의 항들”은 전부 0으로 가고,

$$f'(x) = n x^{n-1}$$

을 얻게 된다.

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3. 파스칼 삼각형과 $(x+h)^4$ 예시 (직관 강화용)

pdf에서는 $n=4$ 인 특별한 경우를 한 번 더 자세히 보여준다.

$$(x+h)^4 = x^4 + 4x^3 h + 6x^2 h^2 + 4x h^3 + h^4$$

여기서도 마찬가지로,

• $x^4$ 는 나중에 $-x^4$ 와 상쇄
• $h^2, h^3, h^4$ 가 붙은 항들은 극한에서 사라짐
• 결국 핵심은 $4x^3 h$

따라서

$$\frac{(x+h)^4 - x^4}{h}=4x^3 + 6x^2 h + 4x h^2 + h^3\to 4x^3$$

즉,

$$\frac{d}{dx} x^4 = 4x^3$$

이 과정에서 등장하는 계수 $1,4,6,4,1$ 이 바로 파스칼 삼각형(Pascal’s triangle) 의 한 줄이라는 것도 같이 언급된다.
하지만 미분 공식 자체에는 “앞의 계수 $;n$과 $x^{n-1}$만 살아남는다”는 것이 중요하다.

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4. 멱함수 미분 공식(Power Rule) 정리

위 과정을 요약하면,

• $n = 1,2,3,4,\dots$ 인 모든 양의 정수에 대해

$$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$

이 성립한다.

pdf에서는 여기에 $n=-1$ 도 포함해서

• $x^2$ 의 도함수는 $2x$
• $x^{-1}$ 의 도함수는 $-x^{-2}$

라는 두 가지를 “아름다운 패턴의 두 조각”이라고 말한다. 즉, 나중에는 정수 $n$ 뿐 아니라 유리수, 실수 지수 $n$까지 확장할 수 있다는 힌트를 준다.

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5. 다항함수(polynomial)의 도함수

이제 멱함수 $x^n$ 의 도함수를 알았으니, 다항함수는 항별로 미분해서 합치면 된다.

예를 들어,

$$
f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 7x - 4
$$

이라면,

$$f'(x) = 5 \cdot 4 x^3 - 3 \cdot 2 x + 7 \cdot 1 - 020 x^3 - 6x + 7$$

일반적으로

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

라면,

$$f'(x) = n a_n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}\cdots +1 \cdot a_1$$

처럼 각 항에 대해 계수만 내려오고 지수는 1씩 감소하는 구조가 된다.

이게 바로 우리가 흔히 쓰는
“다항식 미분은 그냥 항마다 $n x^{n-1}$ 해주면 돼요”
라는 말의 정확한 수학적 배경이다.

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6. 요약

• 이 파트의 핵심은
  • $(x+h)^n$ 을 전개했을 때, $n x^{n-1} h$ 가 핵심 항이라는 것,
  • 나머지 $h^2, h^3, \dots$ 는 극한에서 사라진다는 것.
• 그래서 양의 정수 $n$에 대해

$$\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$$

• 다항식은 이 공식을 항별로 적용해서 손쉽게 도함수를 구할 수 있다.