[Calculus] [3-5] The meaning and significance of definite integrals

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0. Introduction

앞에서 우리는

• $v(x)$ 를 미분하면 얻는 도함수 $v'(x)$
• $v(x)$ 의 antiderivative(부정적분) $f(x)$ (즉 $f'(x) = v(x)$)
• 그리고 시그마(합)에서 적분으로 넘어가는 아이디어

까지 봤다.

이번 섹션에서 하는 일은 딱 두 가지다.

1. 정적분(definite integral) 을
   $$\int_a^b v(x),dx$$
   라는 기호와 함께,
   “숫자(면적/누적량)”으로 정확히 정의하기
2. 그 정의를 두 가지 관점에서 이해하기
   • (1) antiderivative $f$ 와 $f(b)-f(a)$
   • (2) 리만합(작은 직사각형들의 합의 극한)

요약하면,

“부정적분은 함수(누적 함수)이고,
정적분은 그 함수값의 차이(=숫자)”

라는 걸 정리하는 파트라고 보면 된다.

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1. 부정적분 vs 정적분: 개념 비교

먼저 정리를 살짝 해두자.

• 부정적분(indefinite integral)→ 결과가 함수 $f(x)$ (상수항 $C$ 포함)
• $$
  \int v(x),dx = f(x) + C, \quad f'(x) = v(x)
  $$
• 정적분(definite integral)→ 결과가 숫자 하나 (예: “면적”, “거리”, “누적량”)
• $$
  \int_a^b v(x),dx
  $$

부정적분은 “어디까지 왔는지”에 따라 값이 달라지는 누적 함수고,
정적분은 “$a$에서 $b$까지 총 얼마나 쌓였는지”만 관심 있는 상황이다.

이 둘을 연결해 주는 유명한 공식이 바로

$$
\int_a^b v(x),dx = f(b) - f(a)
$$

이다. (여기서 $f'(x) = v(x)$)

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2. 시작점을 0으로 맞추기: $f(b) - f(a)$ 의 의미

Strang은 “거리계(주행거리계)” 비유를 쓴다.

• 차의 현재 계기판 값: $f(t)$
• 실제 이동 거리: “지금값 - 출발할 때 값”
  $$
  \text{이동거리} = f(b) - f(a)
  $$

그래프에서도 똑같다.

• $v(x)$ : 속도(또는 밀도, 밀도, 세기 같은 “순간 변화율”)
• $f(x)$ : 누적된 양 (거리, 면적, 총량)

이때

• “$a$에서 $x$까지의 누적량”은
  $$
  \int_a^x v(t),dt
  $$
• “$a$에서 $b$까지의 누적량”은
  $$
  \int_a^b v(x),dx
  $$

이 값들이 antiderivative $f$ 와 어떻게 연결되느냐?

Strang의 관점은 이렇다.

1. 먼저 $v(x)$ 의 antiderivative $f(x)$ 를 하나 잡는다. (즉 $f'(x) = v(x)$)
2. “시작점에서의 누적량은 0이어야 한다” 라는 조건을 넣는다.

즉,
“$x=a$ 에서의 누적량 = 0” 이 되게 하려면

$$
\underbrace{\text{누적 함수}}_{\text{거리/면적}} = f(x) - f(a)
$$

라고 정의하면 된다. 그러면

• $x=a$ 일 때: $f(a)-f(a) = 0$
• $x=b$ 일 때: $f(b)-f(a)$ (출발 이후 총 누적량)

그래서

• “$a$에서 $x$까지” 누적량은
• $$
  \int_a^x v(t),dt = f(x) - f(a)
  $$
• **“$a$에서 $b$까지” 누적량(정적분)**은
• $$
  \int_a^b v(x),dx = f(b) - f(a)
  $$

라는 공식이 자연스럽게 나온다.

여기서 $t$ 는 그냥 “더하기에 쓰는 더미 변수(dummy variable)”일 뿐이다
($t$ 대신 $s$ 나 $u$ 를 써도 상관 없음).

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3. 정적분 기호와 읽는 법

정적분은 이렇게 생겼다.

$$
\int_a^b v(x),dx
$$

이걸 하나씩 읽어보면

• $\displaystyle \int$: “integral” – 연속 합, 곡선 아래 면적
• 아래 첨자 $a$: 시작점(start point)
• 위 첨자 $b$: 끝점(end point)
• $v(x)$: 더하고 싶은 함수 (속도, 밀도, 높이…)
• $dx$: “$x$에 대해 더한다”는 표시 (폭 $\Delta x$ 의 연속판)

그래서 문장으로는

“$x=a$ 부터 $x=b$ 까지, 함수 $v(x)$ 를 $dx$ 단위로 쭉 더한 값”

이라고 읽으면 된다.

그리고 한 번 더 강조하면,

$$
\int_a^b v(x),dx = f(b) - f(a) \quad \text{(단, }f'(x)=v(x)\text{)}
$$

이게 정적분의 실제 계산법이다.

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4. 예제: $5(x+1)^4$ 의 정적분

Strang이 드는 대표 예제를 하나 보자.

$$
\int_a^b 5(x+1)^4,dx
$$

먼저 antiderivative $f$ 를 찾아야 한다.

1. $(x+1)^5$ 를 미분해보면그래서는 $5(x+1)^4$ 의 antiderivative 중 하나다.
2. $$
   f(x) = (x+1)^5
   $$
3. $$
   \frac{d}{dx} (x+1)^5 = 5(x+1)^4
   $$
4. 정적분 계산 공식 적용
5. $$
   \int_a^b 5(x+1)^4,dx = f(b) - f(a)
   = (b+1)^5 - (a+1)^5
   $$

여기서 중요한 포인트 하나:

• $f(x)$ 대신 $(x+1)^5 - 11$ 같은 걸 써도 미분하면 여전히 $5(x+1)^4$ 이다.
• 즉 $f(x) + C$ 도 모두 antiderivative.

하지만 정적분에서는

$$
[f(x)+C]\Big|_a^b
= \big(f(b)+C\big) - \big(f(a)+C\big)
= f(b) - f(a)
$$

로 상수 $C$ 가 자동으로 지워진다.

그래서

“정적분을 계산할 때는 부정적분 뒤에 $+C$ 를 안 써도 된다”
(어차피 $f(b)-f(a)$ 에서 상쇄되니까)

라는 사실을 다시 한 번 확인할 수 있다.

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5. 리만합 관점에서의 정의

위까지는 “antiderivative를 알고 있다”는 전제에서 나온 공식이었다.
하지만 엄밀한 정의는 반대로 간다.

“먼저 직사각형들의 합(리만합)을 정의하고,
그 극한을 정적분이라고 부르자.”

라는 방향이다.

함수 $v(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이라고 하자.

1. 구간 분할$$
   a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b
   $$$$
   \Delta x_k = x_k - x_{k-1}
   $$
2. 각 조각의 길이는
3. $[a,b]$ 를 많은 조각으로 나눈다.
4. 각 조각에서의 최소값/최대값
   • 최소값: $m_k$
   • 최대값: $M_k$
   연속 함수이므로, 이 구간 어딘가에는 실제로 $v(x)=m_k$, $v(x)=M_k$ 를 만족하는 점이 존재한다. (극값 정리)
5. $[x_{k-1}, x_k]$ 에서
6. 하한합(lower sum) 과 상한합(upper sum)
   • 아래쪽 직사각형(높이 $m_k$)들의 넓이 합:
   • $$
     s = \sum_{k=1}^n m_k,\Delta x_k
     $$
   • 위쪽 직사각형(높이 $M_k$)들의 넓이 합:
   • $$
     S = \sum_{k=1}^n M_k,\Delta x_k
     $$
   이렇게 하면, 실제 면적(진짜 곡선 아래 영역)은 항상
   “하한합 $\le$ 실제 면적 $\le$ 상한합” 을 만족한다.
7. $$
   s ;\le; \text{실제 면적} ;\le; S
   $$

 

1. 분할을 더 잘게 나누면?
   • 하한합 $s$ 는 점점 커지고
   • 상한합 $S$ 는 점점 작아진다
   따라서 두 값 사이 간격이 점점 줄어든다.연속함수라면, 분할을 무한히 촘촘하게 했을 때
   둘이 같은 값으로 모인다.$$
   \int_a^b v(x),dx
   $$
2. 라고 정의한다.
3. 그 공통된 값을 바로
4. $$s \uparrow,\quad S \downarrow,\quad S-s \to 0$$
5. 구간을 더 촘촘하게 나누면

즉,
“연속 함수 $v(x)$ 에 대해,
잘게 쪼갠 직사각형 합의 극한이 존재하면
그 값을 $v$ 의 정적분이라고 부르자”

라는 것이 리만(Riemann) 방식 정의다.

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6. 리만합과 일반 Riemann Sum

실제로 계산할 때는, 꼭 최소값/최대값을 쓸 필요는 없다.

각 조각 $[x_{k-1}, x_k]$ 마다 아무 점이나 하나 고르고
그 점을 $c_k$ 라고 하면, 그 지점의 함수값 $v(c_k)$ 를 높이로 하는 직사각형 넓이 합

$$
\sum_{k=1}^n v(c_k),\Delta x_k
$$

를 리만합(Riemann sum) 이라고 부른다.

• $c_k$ 를 왼쪽 끝점, 오른쪽 끝점, 중점으로 잡는 건
  흔히 쓰는 특수 케이스일 뿐
• 연속 함수라면 어느 점을 골라도,
  분할을 더 촘촘하게 하면 이 리만합의 극한이 동일한 값에 수렴한다.

그 공통된 극한이 바로

$$
\int_a^b v(x),dx
$$

이다.

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