[Calculus] [4-1] Logarithmic and Exponential Functions

0. Introduction

이번 섹션은 지수함수 $b^x$ 와 로그함수 $\log_b y$ 의 기본 원리를 한눈에 정리하는 부분이다.
Strang 교수는 이 섹션을 “지수–로그의 전반적 구조를 먼저 잡는 챕터”라고 설명하며, 특히 $b^{m+n} = b^m b^n$ 이라는 단 하나의 원리가 모든 지수/로그 규칙의 출발점임을 강조한다.

또한 지수함수와 로그함수가 어떻게 서로 역(inverse) 관계인지를 그래프 수준에서 직관적으로 설명하고,
일반 좌표계(ordinary axes), 반로그(semi-log), 로그-로그(log-log) 그래프에서 어떤 함수가 직선이 되는지를 보여준다.

앞으로 나오는 미적분 계산(미분·적분)을 이해하기 위한 “지수/로그의 핵심 구조”를 다지는 섹션이라고 보면 된다.

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1. 지수함수와 로그의 기본 원리

1.1 기본 예: 10의 거듭제곱

십진법에서 익숙한 숫자들:

• $10^0 = 1$
• $10^1 = 10$
• $10^2 = 100$
• $10^3 = 1000$

이때 로그(logarithm) 는 단순히 “지수를 꺼내는 연산”이다.

$$\log_{10} 1 = 0,\quad \log_{10} 10 = 1,\quad \log_{10} 100 = 2,\quad \log_{10} 1000 = 3.$$

즉 로그는 ‘그 숫자를 만들기 위해 필요한 지수’를 출력하는 함수이다.

음수 지수도 동일하게 적용된다

$10^{-1}$ 은 $1/10$,
$10^{-2}$ 은 $1/100$ 이므로

$$\log_{10}(1/10) = -1,\qquad \log_{10}(1/100) = -2.$$

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1.2 지수법칙이 로그법칙을 만든다

가장 중요한 지수 규칙:

$$b^m b^n = b^{m+n}.$$

이것을 로그 관점으로 바꾸면 곱셈이 덧셈이 된다:

$$\log_b (yz) = \log_b y + \log_b z.$$

또 나눗셈은 지수의 차이이므로:

$$\log_b(y/z) = \log_b y - \log_b z.$$

이 단순한 성질 하나가 “로그가 계산을 쉽게 만드는 이유(곱셈을 덧셈으로 바꿈)”의 근본이다.

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2. 밑(base)을 바꾸는 법: Change of Base

밑을 $b$ 에서 $a$ 로 바꾸고 싶을 때, 다음 규칙이 핵심이다:

$$b = a^{\log_a b}.$$

양변을 $x$ 제곱하면:

$$b^x = a^{(\log_a b), x}.$$

따라서 로그도 다음 규칙을 가진다.

$$\log_a y = (\log_a b), (\log_b y).$$

이는 (지수에서처럼) 밑을 바꿀 때 지수에 ‘배율’을 곱하면 된다는 뜻이다.

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3. 지수함수와 로그함수의 그래프

지수함수 $y=b^x$ 와 로그함수 $x=\log_b y$ 는 서로 역함수이므로
그래프를 $y=x$ 선에 대해 대칭시키면 서로가 된다.

기본 성질:

• $b^x > 0$ 이므로 지수함수 그래프는 항상 x축 위에 있다.
• $\log_b y$ 는 $y>0$ 에서만 정의되므로, 그래프는 y축 왼쪽으로 절대 가지 않는다.
• 모든 지수함수는 $b^0=1$ 에서 시작한다.

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3.1 일반 좌표계에서의 문제점

$2^x$, $4^x$ 같은 함수는 매우 빠르게 증가한다.
그래프는 빠르게 "수직처럼" 솟아올라 기본 성질을 읽기 어려워진다.

그래서 Strang은 로그 스케일(log scale) 을 사용해 더 정돈된 그래프를 볼 수 있도록 한다.

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4. 로그 스케일을 이용한 그래프

4.1 Semi-log (x는 선형, y는 로그)

세미로그 그래프에서는 다음 사실이 놀랍게 단순해진다:

지수함수 $y = A b^x$ 가 직선이 된다

로그를 취하면:

$$\log y = \log A + x \log b.$$

즉 기울기 $\log b$ 를 가진 완벽한 직선이다.

 

기울기 = 로그의 밑의 로그값($\log b$) 이므로, 그래프의 기울기를 측정해 $b$ 값을 추정할 수 있다.

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4.2 Log-log (두 축 모두 로그)

이번엔 거듭제곱(power) 함수를 생각해보자:

$$y = A x^k.$$

로그를 취하면:

$$\log y = \log A + k \log x.$$

이것도 직선이 된다.
여기서 기울기는 바로 “지수 $k$”.

 

따라서 log-log 그래프는 데이터가 거듭제곱 법칙을 따르는지 확인할 때 사용한다.

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5. 지수함수의 미분: 아직은 c만 알고 넘어간다

지수함수를 미분할 때 핵심 식은 다음이다:

$$\frac{d}{dx} b^x = c, b^x.$$

여기서 $c$ 는 밑 $b$ 에 따라 달라지는 상수이다.

어디까지나 이 섹션에서는 “$b^x$ 의 미분이 자기 자신과 비례한다”는 구조만 이해한다.
이 $c$ 를 정확히 계산하는 것은 다음 섹션(6.2)에서 e를 정의할 때 해결된다.

그래서 지금은 단지:

• 지수함수는 기울기가 함수 자체에 비례하는 형태를 가진다.
• 이 사실 때문에 지수함수가 자연스럽게 성장/감소 모델에 등장한다.

Strang 교수는 이 구조를 ‘자연 법칙의 기본 틀’이라고 강조한다.

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5.1 로그함수의 미분

지수함수의 역함수라는 사실을 이용하면:

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{c,y}, \quad x = \log_b y.$$

즉

$$\frac{d}{dy} \log_b y = \frac{1}{c y}.$$

역시 상수 $c$ 가 등장한다.
결정적으로, 밑을 $b=e$ 로 선택하면 $c=1$ 이 된다는 것이 다음 섹션의 핵심이다.

 

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