[Calculus] [4-2] The Exponential $e^x$

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0. Introduction

이번 섹션에서는 미적분학에서 가장 중요한 함수 중 하나인 지수함수 $e^x$ 의 정의와 기본 성질을 다룬다. 단순히 “$e = 2.71828\ldots$” 이라는 숫자를 소개하는 것이 아니라,

• 왜 이 숫자가 자연스럽게 등장하는지
• 어떻게 미분을 통해 정의되는지
• 왜 $e$를 밑으로 한 지수함수가 가장 “깔끔한” 미분 공식을 가지는지
• 왜 $e^x$가 자연로그와 깊이 연결되는지

를 차근차근 설명한다.

이 섹션의 핵심은 다음 두 가지이다.

1. $e$는 특별한 극한으로 정의되는 수이다.
   $$ e = \lim_{h\to 0} (1+h)^{1/h} $$
2. 기적 같은 미분 법칙:
   $$ \frac{d}{dx} e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$

이 두 식은 미적분학 전체 구조를 떠받치는 핵심 공식이다.

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1. $e$의 정의: $(1+h)^{1/h}$ 의 비밀

Strang은 먼저 일반적인 지수함수 $b^x$ 의 미분에서 이상한 상수 $c$ 가 등장한다는 사실을 보여주었다:

$$
\frac{d}{dx} b^x = c, b^x
$$

여기서 $c$ 는 밑 $b$ 에 의존하는 어떤 상수였다.

$h \to 0$ 일 때의 차분 비율은 다음과 같다.

$$
c = \lim_{h\to 0} \frac{b^h - 1}{h}
$$

Strang은 “그렇다면 $c = 1$ 이 되도록 하는 $b$는 없을까?”라는 질문을 던진다.
바로 그 값을 주는 특별한 밑이 바로 $e$ 이다.

이를 찾아내기 위해 다음 표현을 살펴본다.

$$
\frac{1}{c}
= \lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)}{h}
= \ln!\left( \lim_{h\to 0} (1+h)^{1/h} \right)
$$

따라서

$$
e = \lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}
$$

이 유명한 정의가 등장한다.

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$e$ 값이 실제로 어떻게 수렴하는지

$h = 1/n$ 으로 두면 아래처럼 표현된다.

$$
e = \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n
$$

$n$ $(1 + \tfrac{1}{n})^n$

1	2.0
2	2.25
10	2.593742
100	2.704814
1000	2.716924
10000	2.718146

수렴 속도는 느리지만, 값이 점점 2.71828…에 가까워지는 것이 보인다.

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2. 왜 $e$가 특별한가? — 기적의 미분

앞에서 얻은 사실을 이용해 밑을 $e$로 바꿔보면

• $b=e$일 때 상수 $c = 1$
• 따라서 더 이상 복잡한 상수 없이 자기 자신이 도함수가 된다.

즉,

$$
\frac{d}{dx} e^x = e^x.
$$

이것이 지수함수 $e^x$가 “자연스러운” 이유이다.
어떤 함수가 자기 자신을 미분한 결과로 다시 돌려주는 것은 대단히 특별하다.

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자연로그의 정의

자연로그는 다음 역함수 관계로 정의된다.

$$
y = e^x \quad \Longleftrightarrow \quad x = \ln y
$$

이제 연쇄법칙을 이용하면 자연로그의 도함수도 바로 나온다.

$$
\frac{d}{dy} \ln y = \frac{1}{y}
$$

즉 로그 함수는 $x^{-1}$의 적분을 채워주는 함수다.

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3. $e^x$와 $\ln x$의 도함수 정리

정리 형태로 다시 적으면:

지수함수

$$
\frac{d}{dx} e^x = e^x
$$

자연로그

$$
\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}
$$

일반 밑 $b$에 대해서는

$$
\frac{d}{dx} b^x = (\ln b), b^x
$$

즉 모든 지수함수의 비밀은 $b^x = e^{(\ln b)x}$ 로 옮겨서 설명할 수 있다.

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4. 지수함수 그래프의 직관

• $x=0$에서 함수값은 1
• 순간 기울기 역시 정확히 1
• $x$가 증가할수록 증가 속도도 함께 증가 → 기울기가 곧 함수값

즉 “기울기 = 높이”라는 단순한 사실 하나로 지수함수의 폭발적인 증가가 설명된다.

또한

 

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5. 더 일반적인 지수함수: $e^{u(x)}$의 도함수

연쇄법칙을 이용하면 다음과 같은 중요한 공식이 나온다.

$$
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \cdot u'(x)
$$

예시:

• $e^{3x}$ → $3e^{3x}$
• $e^{\sin x}$ → $e^{\sin x} \cos x$
• $2^x = e^{(\ln 2)x}$ → $(\ln 2)2^x$

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6. 적분: $e^{u(x)}$ 구조가 보이면 해결!

지수의 도함수 구조가 그대로 남아 있기 때문에, 적분도 쉽게 정리된다.

기본 적분

$$
\int e^x, dx = e^x + C
$$

일반 밑

$$
\int b^x, dx = \frac{1}{\ln b}, b^x + C
$$

연쇄법칙이 적용되는 경우

$$
\int e^{u(x)} u'(x), dx = e^{u(x)} + C
$$

예시:

• $\displaystyle \int e^{\sin x}\cos x, dx = e^{\sin x} + C$
• $\displaystyle \int x e^{x^2/2}, dx = e^{x^2/2} + C$

 

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