[Calculus] [4-3] Logarithms

 

0. Introduction

이번 섹션에서는 자연로그(ln x) 를 미적분학의 관점에서 “제대로” 정의하고,
그 성질·도함수·적분·근사 공식을 모두 한 번에 정리한다.

Strang의 핵심 아이디어는 다음과 같다:

자연로그 ln x는 1/x 곡선 아래의 ‘면적’으로 정의할 수 있다.
즉,
$$ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}, dt $$

이 정의 하나로, 우리가 알고 있는 로그의 모든 성질이 깔끔하게 따라 나온다.

또한 이 정의를 통해 자연로그의 도함수는 1/x 라는 사실이 자연스럽게 나타난다.

섹션 후반부에서는

• ln(1+x)의 테일러 근사
• log differentiation (로그 미분)
• 여러 흥미로운 적분들 (tan x, sec x, cot x, ln x 등)
  까지 다룬다.

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1. 자연로그의 적분 기반 정의

1.1 자연로그의 정의

Strang은 다음과 같이 ln x를 정의한다:

$$ \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}, dt $$

이 정의의 장점은:

• 연속적이고 증가함
• log 규칙(곱셈 → 덧셈)이 자동으로 따라옴
• 도함수는 자연스럽게
  $$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$
  이 됨

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1.2 그래프적 이해

 

곡선 1/x는 x>0에서 양수이므로, 면적(=ln x)은 항상 증가한다.

또한 x→∞ 이면 면적은 천천히 증가하여 ∞로 diverge하고,
x→0⁺ 이면 면적은 –∞로 향한다.

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2. 로그의 기본 성질 (적분 정의로부터)

적분 속성만으로도 log의 대표적 성질이 모두 증명된다.

2.1 ln(xy) = ln x + ln y

1/x의 적분 성질에 의해 아래가 성립한다:

$$
\ln (xy)
= \int_1^{xy} \frac{1}{t} dt
= \int_1^x \frac{1}{t}dt + \int_x^{xy} \frac{1}{t}dt
= \ln x + \ln y.
$$
(근거: 구간 분할 규칙)

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2.2 ln(xⁿ) = n ln x

이 역시 다음 치환에서 나온다:

$t = u^n$ 로 치환하면

$$ \ln(x^n) = n \ln x. $$

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3. ln x의 도함수와 근사식

3.1 도함수: (ln x)' = 1/x

정의로부터 즉시 나온다:

$$
\ln x = \int_1^x \frac{1}{t} dt
\quad \Rightarrow \quad
\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}.
$$

 

 

4. 지수함수의 새로운 정의: ln과 exp의 역함수

Strang은 이제 자연로그 ln을 먼저 정의했으므로
지수함수 $e^x$ 를 다음과 같이 정의한다:

$e^x$ 는 ln의 역함수이다.

즉,

$$
\ln(e^x) = x
\qquad\text{and}\qquad
e^{\ln x} = x.
$$

이 정의는 원문에서 다음과 같이 설명된다:
“e^x는 자연로그가 x가 되는 유일한 수”

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5. 로그 미분(Logarithmic Differentiation)

로그 미분은 다음과 같은 상황에서 매우 유용하다:

• $x^x$
• 복잡한 곱, 거듭제곱
• 삼각함수와 지수가 섞인 함수

예를 들어 $p = x e^{5x}$ 라면

$$
\ln p = \ln x + 5x.
$$

미분하면

(출처: )

$$
\frac{p'}{p} = \frac{1}{x} + 5.
$$

따라서

$$
p' = p\left(\frac{1}{x}+5 \right)
= x e^{5x}\left(\frac{1}{x}+5\right).
$$

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6. 다양한 로그 기반 적분들

원문에서 강조되는 흥미로운 적분들이다.

6.1 tan x, cot x

$$
\int \tan x, dx
= \int \frac{\sin x}{\cos x}, dx
= -\ln|\cos x|.
$$

$$
\int \cot x, dx
= \ln|\sin x|.
$$

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6.2 sec x, csc x

(Strang은 이걸 “crazy trick”이라고 부름)

sec x

$$
\int \sec x, dx
= \ln|\sec x + \tan x|.
$$

csc x

$$
\int \csc x, dx
= \ln|\csc x + \cot x|.
$$

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6.3 ln x 자체의 적분

원문에서 강조된 내용:

 

$$
\int \ln x, dx
= x\ln x - x.
$$

이것은 부분적분으로 빠르게 얻을 수 있다.

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6.4 더 어려운 로그 적분: 1 / ln x

원문에 따르면:

1 / ln x 의 적분은 기본적 함수로 표현 불가.
그러나 이것은 소수정리(Prime Number Theorem) 의 핵심 도구.

 

즉,

$$
\int_a^b \frac{dx}{\ln x}
$$

은 a와 b 사이의 소수 개수를 근사한다.

이런 식으로 미적분학이 수론과 연결된다.

 

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7. Domain, Range 정리

• ln x의 정의역(domain): x > 0
• ln x의 치역(range): 모든 실수
• x → 0⁺ ⇒ ln x → −∞
• x → ∞ ⇒ ln x → ∞
• 단, 증가 속도는 매우 느림
  (근거: ln x / x → 0 as x→∞

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