[Calculus] [5-1] Integration by Parts

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0. Introduction

이번 섹션에서는 적분에서의 곱의 미분법(product rule)의 역과정, 즉 적분 by parts(부분적분)를 다룬다.
우리가 이미 알고 있는 적분들은 대부분 “미분 공식을 알고 있기 때문에” 가능한 것이 많다.
예를 들어:

• $v(x) = \sec^2 x$ 이면 $f(x) = \tan x$
• 하지만 $x e^x$, $x \cos x$, $\ln x$ 같은 함수들은 바로 미분의 역을 알아내기 어렵다

부분적분은 이런 “복잡한 적분을 더 쉬운 적분으로 바꿔주는” 핵심 테크닉이다.

섹션의 핵심 아이디어는 다음과 같다:

곱의 미분 공식
$ \dfrac{d}{dx}(uv) = u'v + uv' $

이 식을 적분 형태로 뒤집으면:

부분적분 공식
$$ \int u,dv = uv - \int v,du $$

직관적으로는 “적분하기 어려운 $u,dv$를, 적분하기 더 쉬운 $v,du$로 바꾸는 기술”이라고 이해하면 된다.

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1. 부분적분 공식의 유도

곱의 미분법에서 시작한다:

$$ \frac{d}{dx}(u v) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} $$

양변을 적분하면:

$$ uv = \int u,dv + \int v,du $$

따라서,

$$ \int u,dv = uv - \int v,du $$

이것이 Integration by Parts의 기본 공식이다.

● 정적분 형태는 다음과 같다

$$
\int_a^b u,dv = \big[u v\big]_a^b - \int_a^b v,du
$$

즉, 경계에서 $uv$를 평가한 뒤, 더 쉬운 적분을 계산하면 된다.

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2. 부분적분의 핵심 전략

적절한 $u$와 $dv$를 선택하는 것이 중요하다.

일반적으로 다음을 목표로 한다:

• $u$는 미분하면 더 단순해지는 것
  (예: $\ln x$, $x^n$, $\arctan x$)
• $dv$는 쉽게 적분되는 것
  (예: $e^x dx$, $\cos x dx$, $dx$)

고전적인 선택 기준은 LIATE(로그–역삼각–대수–삼각–지수) 순서이지만,
Strang은 “미분하면 간단해지는 것 = u”라는 직관을 강조한다.

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3. 예제와 해설 (Strang 원문 기반)

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예제 1 — $\int \ln x,dx$

$\ln x$는 직접 적분할 수 없으니,
$u = \ln x$, $dv = dx$ 로 둔다.

• $du = \dfrac{1}{x}dx$
• $v = x$

부분적분 공식에 대입:

$$
\int \ln x,dx = x\ln x - \int x \frac{1}{x} dx
= x\ln x - \int 1,dx
$$

그러므로:

$$
\boxed{\int \ln x,dx = x\ln x - x + C}
$$

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예제 2 — $\int x\cos x,dx$

$u = x$, $dv = \cos x,dx$ 선택

• $du = dx$
• $v = \sin x$

$$
\int x\cos x,dx = x\sin x - \int \sin x,dx
= x\sin x + \cos x + C
$$

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예제 3 — $\int \cos^2 x,dx$

Strang이 강조한 “부분적분으로 해결되는 예시”

$u=\cos x$, $dv=\cos x dx$ 선택

• $du = -\sin x dx$
• $v = \sin x$

계산:

$$
\int \cos^2 x,dx = \cos x \sin x + \int \sin^2 x,dx
$$

여기서 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ 를 사용:

$$
\int \cos^2 x,dx = \cos x\sin x + \int 1,dx - \int \cos^2 x,dx
$$

같은 항을 이동:

$$
2 \int \cos^2 x,dx = \cos x\sin x + x
$$

따라서

$$
\boxed{
\int \cos^2 x dx = \frac12(\cos x\sin x + x) + C
}
$$

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예제 4 — $\int \tan^{-1}x , dx$

$u = \tan^{-1}x$, $dv = dx$ 선택

• $du = \dfrac{1}{1+x^2}dx$
• $v = x$

$$
\int \tan^{-1}x,dx
= x\tan^{-1}x - \int \frac{x}{1+x^2},dx
$$

뒤 적분은 $w=1+x^2$ 로 치환:

$$
\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac12 \ln(1+x^2)
$$

따라서 최종 결과:

$$
\boxed{
\int \tan^{-1}x,dx = x\tan^{-1}x - \frac12\ln(1+x^2) + C
}
$$

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예제 5 — $\int x^2 e^x dx$

두 번의 부분적분이 필요.

1차 부분적분
$u=x^2$, $dv=e^x dx$

$$
\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx
$$

2차 부분적분
$\int 2x e^x dx$에 대해 다시 부분적분:

$$
\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = xe^x - e^x
$$

최종 결론:

$$
\boxed{
\int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C
}
$$

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4. 부분적분의 기하학적 의미

Strang은 부분적분을 단순한 계산 트릭이 아니라,
실제로 물리학에서 “일(work) = 힘 × 거리” 관계와 깊게 연결된 개념이라고 강조한다.

예:

• 내부 힘(internal force) $v(x)$
• 변형률(stretching) $\dfrac{du}{dx}$

이 둘의 균형식을 적분하면 자연스럽게 부분적분 형태가 나온다.

이것은 구조역학의 가상일(virtual work) 원리의 핵심이고,
실제로 공학 전반에서 매우 중요한 역할을 한다.

 

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