[Calculus] [5-2] Trigonometric Integrals

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0. Introduction

이번에서는 삼각함수의 적분(Trigonometric integrals) 을 어떻게 다룰지 배운다.
핵심 아이디어는 다음 두 가지:

1. 거듭제곱이 포함된 삼각함수 적분
   • 예:
     $$\int \sin^m x \cos^n x , dx$$
2. 짝수/홀수 지수를 이용한 전략적 분해
   • sin 또는 cos 중 하나가 홀수면 → 간단한 substitution 가능
   • 둘 다 짝수면 → 삼각함수 항등식(half-angle formula) 사용
   • sec, tan도 동일한 논리로 처리 가능

이 섹션의 목표는 “삼각함수 조합 적분은 무조건 계산 가능하다”는 확신을 주는 것이다.
단순 암기보다는 전략(odd/even rule) 과 삼각치환(identities) 를 도구로 사용한다.

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1. 핵심 전략: $\sin^m x \cos^n x$ 적분

전체 전략은 매우 간단하다.

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1.1 Case 1 — 지수 중 하나가 홀수일 때 (m 또는 n이 odd)

예를 들어
$$\int \sin^5 x \cos^2 x , dx$$
같은 형태.

핵심 아이디어:

• sin 또는 cos 중 홀수인 것을 하나 따로 빼내고
• 나머지를 $1 - \cos^2 x$ 또는 $1 - \sin^2 x$ 로 변환
• 이후 $u$-substitution 사용

예시 1 — $\int \sin^2 x \cos^3 x , dx$

cos가 홀수 → cos 하나를 분리:

$$\int \sin^2 x \cos^3 x , dx
= \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x)\cos x , dx$$

이제
$u = \sin x$, $du = \cos x , dx$

따라서

$$\int (u^2 - u^4) , du
= \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C$$

마지막에 $u = \sin x$ 대입.

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1.2 Case 2 — 둘 다 홀수일 때

예:
$$\int \sin^3 x \cos^3 x , dx$$

둘 중 아무거나 골라서 odd-case 규칙 적용하면 된다.
sin 하나 빼거나 cos 하나 빼면 끝.

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1.3 Case 3 — 둘 다 짝수일 때 (even-even)

예:
$$\int \cos^2 x, dx$$
$$\int \cos^4 x , dx$$

이 경우 substitution이 안 되므로 half-angle formulas 사용:

$$
\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad
\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}
$$

짝수가 나오면 각도를 절반에서 두 배로 바꾸는 방법.

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예시 2 — $\int \cos^2 x , dx$

$$
\int \cos^2 x , dx
= \int \frac{1 + \cos 2x}{2} , dx
= \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
$$

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예시 3 — $\int \cos^4 x , dx$

한 번 반각 → 다시 반각:

$$
\cos^4 x = (\cos^2 x)^2
= \left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)^2
= \frac{1}{4}(1 + 2\cos 2x + \cos^2 2x)
$$

여기서 $\cos^2 2x$에 다시 half-angle 적용:

$$
\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}
$$

최종적으로 다음과 같은 형태로 정리된다:

$$
\int \cos^4 x , dx
= \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{32}\sin 4x + C
$$

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2. 정체된 문제 해결: $\sin(px)\cos(qx)$ 형태

예:
$$\int_0^{2\pi} \sin 8x \cos 6x , dx$$

여기서 핵심은 product-to-sum formula:

$$
\sin px \cos qx

\frac{1}{2}\sin((p+q)x) + \frac{1}{2}\sin((p-q)x)
$$

그래서

$$
\int_0^{2\pi} \sin 8x \cos 6x , dx
= \int_0^{2\pi} \tfrac{1}{2}[\sin 14x + \sin 2x] dx
$$

sin의 적분은 full-period에서 항상 0이므로

결과 = 0

이 현상은 Fourier series의 핵심 정리(직교성) 이기도 하다.

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3. Secants and Tangents 적분

sec, tan은 특이하지만 여전히 공략 가능하다.

핵심 항등식:

$$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

이걸 활용해 지수를 줄이기만 하면 된다.

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3.1 기본 공식

$$\int \tan x , dx = -\ln|\cos x| + C$$

$$\int \sec x , dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

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3.2 예시 — $\int \tan^3 x , dx$

분해:

$$\tan^3 x = \tan x (\sec^2 x - 1)$$

$u = \tan x$ 이므로:

$$
\int \tan^3 x , dx
= \int u (u^2 - 1)' , dx
= \frac{u^2}{2} - \ln|\cos x| + C
$$

최종:

$$
\frac{\tan^2 x}{2} + \ln|\cos x| + C
$$

 

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