[Calculus] [5-3] Trigonometric Substitutions

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0. Introduction

이번 섹션에서는 적분에서 가장 강력한 도구 중 하나인 **삼각치환(trigonometric substitution)**을 다룬다.
특히 적분 안에 다음과 같은 “루트가 포함된 형태”가 등장할 때 매우 유용하다:

• $ \sqrt{a^2 - x^2} $
• $ \sqrt{a^2 + x^2} $
• $ \sqrt{x^2 - a^2} $

이런 형태는 $x$로 적분하면 매우 복잡하지만,
삼각함수의 피타고라스 항등식을 이용하면 놀랍도록 깔끔하게 정리된다.

핵심 아이디어는 다음과 같다:

• 루트 안의 식을 삼각함수의 기본 항등식과 연결시킨다.
• 따라서 $x$를 직접 다루지 않고 삼각함수 변수로 바꾼 뒤 적분을 수행한다.
• 적분이 끝나면 다시 $x$ 변수로 되돌린다.

이 섹션은 “삼각치환은 왜 필요한가?” 를 가장 명확하게 보여주는 대표적인 내용이다.

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1. 삼각치환의 기본 목적

루트 안에 있는 표현이 삼각함수의 항등식과 자연스럽게 맞아떨어지도록 $x$를 변환한다.

예를 들자:

• $ \sqrt{1 - x^2} $ → $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $ \sqrt{1 + x^2} $ → $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$
• $ \sqrt{x^2 - 1} $ → $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$

즉, “루트를 간단히 만들기 위해” 적절한 삼각함수를 선택한다.

그리고 변화는 다음과 같은 대응으로 이어진다:

$$ x = (\text{삼각함수}) \quad \Rightarrow \quad dx = (\text{그 함수의 도함수}) d\theta $$

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2. 대표적인 삼각치환 표(Table)

아래는 삼각치환을 외울 때 반드시 기억해야 하는 표이다.
모든 삼각치환 문제는 이 3가지 중 하나로 귀결된다.

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✔ Case 1. $ \sqrt{a^2 - x^2} $

추천 치환:
$$ x = a \sin \theta, \quad dx = a \cos\theta , d\theta $$

이유:
$$ a^2 - x^2 = a^2(1 - \sin^2\theta) = a^2\cos^2\theta $$

변형 후:
$$ \sqrt{a^2 - x^2} = a\cos\theta $$

 

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✔ Case 2. $ \sqrt{a^2 + x^2} $

추천 치환:
$$ x = a \tan\theta, \quad dx = a\sec^2\theta , d\theta $$

이유:
$$ a^2 + x^2 = a^2(1 + \tan^2\theta) = a^2\sec^2\theta $$

변형 후:
$$ \sqrt{a^2 + x^2} = a\sec\theta $$

 

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✔ Case 3. $ \sqrt{x^2 - a^2} $

추천 치환:
$$ x = a\sec\theta, \quad dx = a\sec\theta \tan\theta, d\theta $$

이유:
$$ x^2 - a^2 = a^2(\sec^2\theta - 1) = a^2\tan^2\theta $$

변형 후:
$$ \sqrt{x^2 - a^2} = a\tan\theta $$

 

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3. 예제와 해설

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Example 1.

$$ \int \sqrt{1 - x^2}, dx $$

삼각치환 선택:
$$ x = \sin\theta,\qquad dx = \cos\theta , d\theta $$

변환:

• $ \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta $
• 적분은 다음과 같이 바뀜:

$$ \int \sqrt{1-x^2}, dx
= \int \cos\theta \cdot \cos\theta, d\theta
= \int \cos^2\theta, d\theta $$

이제 $\cos^2$는 반각 공식 적용:

$$ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $$

따라서

$$
\int \cos^2\theta, d\theta
= \frac{1}{2}\left(\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right) + C
$$

이제 원래 변수로 복귀:

• $\theta = \sin^{-1} x$
• $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\sqrt{1-x^2}$

최종 정답:

$$
\int \sqrt{1 - x^2}, dx
= \frac{1}{2}\left(
\sin^{-1}x + x\sqrt{1-x^2}
\right) + C
$$

 

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Example 2.

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} $$

치환:
$x = \sin\theta$ ⇒ $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$, $dx = \cos\theta d\theta$

대입하면:

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}
= \int \frac{\cos\theta , d\theta}{\cos\theta}
= \int d\theta
= \theta + C
$$

복귀:

$$
\theta = \sin^{-1}x
$$

정답:

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \sin^{-1}x + C
$$

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Example 3.

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 16}} $$

루트 형태가 $x^2 - a^2$ → sec 치환

$$ x = 4\sec\theta,\quad dx = 4\sec\theta \tan\theta, d\theta $$

대입:

$$
\sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{16\sec^2\theta - 16}
= 4\tan\theta
$$

따라서:

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 16}}
= \int \frac{4\sec\theta \tan\theta, d\theta}{4\tan\theta}
= \int \sec\theta , d\theta
$$

우리가 이미 알고 있는 적분:

$$
\int \sec\theta , d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C
$$

이제 원래 변수 복귀:

• $\sec\theta = x/4$
• $\tan\theta = \sqrt{x^2 - 16}/4$

최종 정답:

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 16}}
= \ln\left|\frac{x + \sqrt{x^2 - 16}}{4}\right| + C
$$

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4. 왜 삼각치환이 중요한가? (요약)

• 적분 안의 루트를 삼각함수 항등식으로 단순화할 수 있게 한다.
• 특히 다음 형태의 적분은 삼각치환이 사실상 “표준해법”이다:
  • $ \sqrt{a^2 - x^2} $
  • $ \sqrt{a^2 + x^2} $
  • $ \sqrt{x^2 - a^2} $
  • $ \sqrt{x^2 + bx + c} $ (완전제곱 → 삼각치환 응용)
• 부정적분뿐 아니라 정적분도 치환하면 경계값이 삼각함수로 깔끔하게 계산된다.

결론적으로, 삼각치환은 미적분학에서 “특수한 형태를 해결하는 비밀 병기”이며,
공학/물리에서 곡선 길이, 면적, 회전체 문제 등에 계속 등장하는 핵심 기법이다.