[Calculus] [5-4] Partial Fractions

0. Introduction

이번 섹션에서는 유리함수(rational function) 적분을 가능한 형태로 분해하는 방법, 즉 부분분수 분해(partial fractions) 를 다룬다.
미적분에서 자주 등장하는 적분 중 많은 수가 다음과 같은 형태를 가진다:

$$ \int \frac{P(x)}{Q(x)} , dx $$

여기서 $P(x)$, $Q(x)$는 다항식(polynomial)이다.

하지만 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 자체를 직접 적분하기는 쉽지 않고, 보통 이를 더 단순한 분수들의 합으로 분해한 뒤 각각 적분하면 훨씬 수월해진다.

이 섹션에서는:

• 언제 부분분수 분해를 사용할 수 있는지
• 분모가 선형/이차/중복인 경우 각각 어떤 형태로 분해하는지
• Cover-up(덮어쓰기) 방법을 포함한 상수 찾는 법
• 실제 예제들을 통한 분해 및 적분 과정

을 차근차근 살펴본다.

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1. 기본 아이디어: 분모를 인수분해하라

유리함수를 분해하는 과정은 크게 다음과 같다:

1. 분모 $Q(x)$를 가능한 한 인수분해한다.
   예:
   $$ Q(x) = (x - 2)(x + 2)x $$
2. 각 인수에 따라 기댓값(expected form) 을 설정한다:
   • 단일 선형 인수 $(x - a)$ → $$ \frac{A}{x - a} $$
   • 단일 이차 인수 $(x^2 + bx + c)$ → $$ \frac{Ax + B}{x^2 + bx + c} $$
   • 중복 인수 $(x - a)^k$ → $$ \frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_k}{(x-a)^k} $$
3. 양변을 통분하여 분자끼리 비교해 상수를 결정한다.
4. 분수가 단순해졌다면 각각 별도로 적분한다.

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2. 간단한 예제: 로그가 자연스럽게 등장한다

Strang은 가장 기본적인 예제로 다음 적분을 보여준다:

$$ \int \left( \frac{1}{x-2} + \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x} \right) dx $$

각각 적분하면:

$$ \ln|x - 2| + 3\ln|x + 2| - 4\ln|x| + C $$

로그가 반복해서 등장하는 이유는 선형 분모가 있는 항의 적분이 항상 $\ln|x - a|$ 형태가 되기 때문이다.

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3. 원래의 유리함수는 무엇이었는가?

위의 세 항을 다시 하나의 분수로 합치면:

$$
\frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x + 2} - \frac{4}{x}
= \frac{-4x + 16}{(x - 2)(x + 2)x}.
$$

즉, 원래 함수는 다음과 같았다:

$$ \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{-4x + 16}{(x - 2)(x + 2)x}. $$

Strang은 여기에 중요한 메시지를 담는다:

부분분수 분해(partial fractions)는 적분을 위해 유리함수를 준비하는(preparation) 과정이다.

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4. 예제 1 — 상수 A, B, C 찾기

다음 분해를 하고 싶은 상황을 보자:

$$
\frac{3x^2 + 8x - 4}{(x - 2)(x + 2)x}

\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{x}.
$$

4.1 방법 1: 통분 후 분자 비교

양변을 공통 분모로 통분한다:

$$
3x^2 + 8x - 4
= A(x + 2)x + B(x - 2)x + C(x - 2)(x + 2).
$$

좌우의 다항식 계수를 맞춰 A, B, C를 찾는다.

4.2 방법 2: Cover-up(덮어쓰기) 방법 — 더 빠름

분모의 각 인수에 대해 그 인수 항을 “덮어버리고” 남는 값을 대입하는 방식이다.

예: $x = 2$를 대입하려면 먼저 $(x - 2)$를 덮고 나머지 분수만 본다.

Strang은 다음과 같은 포인트를 강조한다:

• $(x - 2)$가 사라지는 순간 나머지 항은 모두 0이 되어 단 하나의 항(A만 포함된)만 남는다.
• 따라서 대입하면 바로 A를 얻을 수 있다.

이 방법은 선형 인수에서 가장 효과적이며, 미적분에서 매우 자주 사용된다.

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5. 중복된 인수의 등장 — 예제 5

다음과 같은 유리함수를 분해해보자:

$$
\frac{2x + 3}{(x - 1)^2}
= \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2}.
$$

핵심 아이디어:

• 중복된 인수 $(x - 1)^2$는 “새로운 형태”의 항을 하나 더 만든다.
• Cover-up 방식으로 가장 높은 차수의 항(B)을 먼저 찾는다.
• 이후 A는 남은 식을 정리해 찾아낸다.

이런 경우 적분 결과는:

$$
2 \ln|x - 1| - \frac{5}{x - 1} + C,
$$

처럼 로그와 로그가 아닌 항이 함께 등장한다.

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6. 선형 + 이차 혼합된 일반적인 경우 — 예제 6

다음 같이 복잡한 분수도 분해가 가능하다:

$$\frac{2x^3 + 9x^2 + 4}{x^2 (x^2+4)(x - 1)}=\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{x^2 + 4} + \frac{E}{x - 1}.$$

이 예제는:

• 선형 인수
• 중복 선형 인수
• 이차 인수

가 모두 섞여 있다. 실제 계산은 길고 복잡하지만, 핵심 규칙을 정리하는 데 의미가 있다.

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7. 부분분수 분해의 규칙 요약

Strang이 정리한 핵심 규칙은 다음과 같다:

(1) $\deg P < \deg Q$ 이어야 한다

그렇지 않으면 먼저 다항식 나눗셈으로 차수를 낮춘다.

(2) 분모 $Q$는 선형 & 이차 인수로 쪼개진다

이차식은 실수에서 더 이상 인수분해되지 않는 경우(즉, 복소근)까지 포함한다.

(3) 각 인수에 대응하는 기댓값은 다음과 같다

• $(x - a)$ → $A/(x - a)$
• $(x - a)^k$ → $A_1/(x-a) + \cdots + A_k/(x-a)^k$
• $(x^2 + bx + c)$ → $(Ax + B)/(x^2 + bx + c)$

(4) Cover-up 방법은 훌륭한 출발점

특히 선형 인수에서 매우 빠르게 작동한다.

(5) 마지막 단계는 각 항을 적분하는 것

모든 항은 로그, $\arctan$, 다항식 적분 등 이미 배운 형태로 풀린다.

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