[Calculus] [5-5] Improper Integrals

0. Introduction

이번 섹션에서는 이상적분(improper integrals) 을 다룬다.
이상적분은 적분 구간의 끝점이 무한대로 뻗어나가거나, 적분하려는 함수 자체가 구간 내부에서 발산할 때 등장한다.

직관적으로는 “영역이 무한히 넓어 보이는데도 실제 면적은 유한할 수 있는가?”라는 질문을 탐구하는 장이다.
Strang 교수는 이 챕터에서 여러 예시를 통해:

• 무한 구간에서 적분이 수렴(converge)할 때
• 함수가 $x=0$ 등에서 발산해도 적분이 수렴할 때
• 반대로 수렴할 것처럼 보이지만 실제로는 발산(diverge)하는 경우

를 비교하며 이상적분의 본질을 설명한다.

---

1. 이상적분의 정의 (Definition)

이상적분은 일반적인 리만 적분처럼 단순히 구간의 양 끝에 숫자를 넣는 방식이 아니라, 한쪽 끝을 ‘limit(극한)’으로 밀어붙이는 방식으로 정의한다.

(1) 상한이 무한대로 가는 적분

$$
\int_a^{\infty} f(x),dx
= \lim_{b\to\infty} \int_a^{b} f(x),dx
$$

(2) 하한이 $-\infty$ 로 가는 경우

$$
\int_{-\infty}^{b} f(x),dx
= \lim_{a\to -\infty} \int_a^{b} f(x),dx
$$

(3) 함수가 구간 내부에서 발산하는 경우

예: $f(x)=\frac{1}{x}$ 를 $[0,1]$ 에서 적분할 때 $x=0$에서 발산.

이때는 발산점을 기준으로 나눠서 limit로 정의한다.

---

2. 무한히 긴 구간에서도 면적이 유한할 수 있다

Strang이 강조하듯, 영역이 무한히 펼쳐져 있어도 면적이 항상 무한한 것은 아니다.

예:

$$
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2},dx
$$

이 그래프는 오른쪽으로 무한히 뻗지만, 적분 결과는 실제로 유한값이다.

 

계산해보면:

$$
\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2},dx
= \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{\infty}
= 1
$$

---

3. 예제들로 보는 이상적분

(1) $1/x^2$ 의 경우

$$
\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx = 1
$$

수렴.

---

(2) $1/x$ 의 경우 (발산)

$$
\int_1^\infty \frac{1}{x} dx
= \left[ \ln x \right]_1^\infty
= \infty
$$

즉, $1/x^p$ 의 경우 $p>1$일 때만 수렴한다는 중요 원리를 얻는다.

---

(3) 양쪽이 모두 무한한 구간

$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2},dx
$$

이 적분은 유명한 가우시안(Gaussian) 적분으로 유한한 값 $\sqrt{\pi}$에 수렴한다.

 

---

4. 주의해야 할 사례: 양쪽 무한대에서 균형이 “맞아 보이는” 경우

Strang이 강조하는 함정:

예: $\int_{-b}^{b} x,dx$

계산하면 항상 0이다.

그런데 전체를 $(-\infty,\infty)$ 로 확장하면?

$$
\int_{-\infty}^{\infty} x , dx
$$

이 적분은 존재하지 않는다.
왜냐하면:

• 왼쪽 부분: 면적 $=-\infty$
• 오른쪽 부분: 면적 $=+\infty$

즉, $+\infty - \infty$ 는 정의되지 않은 형태이므로 발산이다.

---

예: $1/x$ 의 경우

$1/x$는 홀함수(odd function)라서
“영역이 좌우 대칭이면 0이겠지?”라고 착각하기 쉬움.

하지만:

$$
\int_{-1}^{1} \frac{1}{x},dx
$$

은 아예 존재하지 않는다.
$x=0$에서 발산하기 때문.

Strang이 강조:
좌우 영역이 균형 맞아 보인다고 해서 적분이 존재한다고 착각하면 안 된다.

 

---

5. 함수가 점에서 발산할 때: $1/x^p$ 의 기준

$x=0$ 근처에서의 적분

$$
\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx
$$

은 $p<1$일 때만 수렴한다.

계산:

$$
\int_0^1 x^{-p} dx
= \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_0^1
$$

• $1-p>0$ ($p<1$) → 수렴
• $1-p\le 0$ ($p\ge 1$) → 발산

그림으로 보면, $1/x^p$ 그래프가 $p=1$을 기준으로 급격히 달라진다.

 

---

6. 무한 구간 + 발산점이 혼합된 경우

예시:

$$
\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 1
$$

이런 경우도 limit로 나눠서 처리한다:

$$
\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx
= \lim_{b\to\infty} \int_0^b e^{-x} dx
= \lim_{b\to\infty} (1 - e^{-b})
= 1
$$

수렴.