[Calculus] [6-1] Polar Coordinates

 

0. Introduction

이번 섹션에서는 우리가 평소에 사용하던 직교좌표계 $(x, y)$ 대신, 점을 **거리 $r$**과 **각도 $\theta$**로 나타내는 **극좌표(polar coordinates)**를 소개한다.
비행 레이더에서 물체를 표시할 때처럼, “어디서 얼마나 떨어져 있는가”와 “어느 방향인가”만으로 점을 표현하는 방식이다.

극좌표는 특히 원형 대칭이 있는 문제에서 훨씬 자연스럽고 계산이 쉬우며, 미적분에서도 중요한 역할을 한다.

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1. 극좌표의 정의

평면 위의 한 점을 거리 $r \ge 0$ 와 **방향 각도 $\theta$**로 표현한다.

• $r$: 원점으로부터의 거리
• $\theta$: 양의 $x$축을 기준으로 반시계 방향으로 잰 각도

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2. 직교좌표와 극좌표의 변환

극좌표 $(r, \theta)$와 직교좌표 $(x, y)$는 아래 삼각형 관계로 쉽게 변환된다.

(파일 근거: 식 (1) )

$$ x = r\cos\theta $$

$$ y = r\sin\theta $$

이는 반대로 다음을 이용하여 좌표를 극좌표로 되돌릴 수 있다:

(파일 근거: 식 (2) )

$$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $$

단, $\theta$는 여러 개의 해를 가진다는 점에 주의해야 한다. 예를 들어 한 점은
$\theta$, $\theta + 2\pi$, $\theta + 4\pi$ … 모두 같은 방향을 가리킨다.

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3. 예시

예제 1.

점 $(x, y) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \right)$ 의 극좌표를 구하자.

• 거리
  $$ r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = 1 $$
• 각도
  $$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = \frac{\pi}{6} $$

→ 따라서 극좌표는 $(1, \frac{\pi}{6})$이다.

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음의 각도에 대한 예시

파일에서는 음의 각도 동일한 방향을 나타냄을 강조한다.

(“Point B in Figure 9.1c is at a negative angle $\theta = -\pi/4$” 언급됨
)

• $\cos(-\pi/4)$는 $\cos(\pi/4)$와 같지만
• $\sin(-\pi/4)$는 음수

그리고 같은 점은 여러 극좌표를 가질 수 있다:

• $(r, \theta)$
• $(r, \theta + 2\pi)$
• 또는 $(-r, \theta + \pi)$ 와 같이 다른 조합도 동일한 점을 표현할 수 있다.

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4. 왜 극좌표를 쓰는가?

극좌표는 다음 상황에서 매우 강력하다:

• 원이나 원형 대칭이 있는 문제
• 복소수의 크기/각도 표현
• 물리학에서 방향과 거리 기반 모델
• 곡선의 형태가 $\theta$에 대한 함수 $r = F(\theta)$ 로 자연스럽게 주어질 때

 

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