수리통계학

1. Introduction- 만일 R.V가 continuos R.V라고 한다면, P(X = 0) = 0 이 될 것이다. 즉, 어느 특정 점의 확률은 0일 수 밖에 없다.- 따라서, 우리가 필요한 것은 추정치의 오차를 측정하는 방법이다.- 즉, 추정치가 실측값을 얼마나 벗어났는지 평가할 수 있어야 한다.- 해당 섹션에서는 오차의 추정치를 confidence interval의 개념을 이용해 표현할 것이다. 1.1. Definition [1] : Confidence Interval- 표본 X1,X2,...,Xn이 R.V X에서 추출된다고 해보자.- 여기서 X는 pdf f(x;theta)를 가지며, theta는 모르는 값이라고 하자.- 0 - 두 통계량 L = L(X1,...Xn) , U = U(X1,...,..

1. Inference1.1. Estimation(추정)- Estimation은 통계학에서 모집단의 특성을 표본 데이터를 기반으로 예측하거나 근사하는 과정을 의미한다.- 이러한 Estimation은 두 가지 유형이 존재한다.i) point Estimation-- 모집단의 모수를 하나의 숫자로 추정하는 방법이다.ii) Interval Estimation-- 모집단의 모수가 특정 구간안에 있을 확률을 제공하는 방법1.2. Testing(검정)- Estimation이 정당한지 testing하는 과정이라고 생각하면 좋다. 2. Sample2.1. with replacement- 복원 추출은 각 변수가 Independent하다.(random sample이라고 한다.)2.2. without replacement- ..

1. t distribution- R.V W가 N(0,1) Normal distribution을 따르고, R.V V가 X^2(r) chi-square distribution을 따른다고 하자.- W와 V가 서로 independent하다고 가정하자.- 그렇다면, W와 V의 joint pdf h(w,v)는 다음처럼 각각의 pdf의 곱으로 표현된다.- 여기서, 새로운 R.V T를 다음과 같이 정의해보자. - 해당 변환을 사용하여 T의 pdf를 다음과 같이 유도가능하다.- 여기서, T와 U(V)의 joint pdf는 다음과 같이 주어지게 된다. - 해당 식을 통해 T의 marginal pdf를 구해주면 다음과 같다.- 여기서, T는 chi-square distribution의 degree of freedom을 따..

1. Introduction1.1. Derivation(i) Standard normal case- z's : N(0,1)- Z = (z1,z2,...,zn)^T (Random Vector, R.V.들은 iid)- 우리는 z의 pdf를 구해 볼것이다.- 여기서 f(z)를 우리는, standard multivariate normal distribution이라고 정의한다.- mgf을 구하면 다음과 같다.- n-dimension vector로 이루어져 있기 때문에, t't로 곱해주는 꼴이 나오게 된다.- 하지만, 기존의 정규분포의 mgf와 거의 유사하다라는 점 기억하면 좋다. 1.2. Spectral Decomposition Theorem(SDT)- Spectral Decomposition은 symmetric..